Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 0& -m\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$ con $m\in \mathbb{R}$

a) Calcule el valor de $m$ para que se verifique la igualdad $A^2-A=B$. [1 punto]

b) Calcule $m$ para que la matriz $A+B-I$ tenga inversa, siendo $I$ la matriz unidad de orden 2. [0,75 puntos]

c) Para $m=2$ obtenga la inversa de la matriz $A+B-I$. [0,75 puntos]

Calculamos el primer miembro y lo comparamos con $B$ elemento a elemento.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 0& -m\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 0& -m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{m}^2& m-m\\ 0& m^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{m}^2& 0\\ 0& m^2\end{array}\right)$

$A^2-A=\left(\begin{array}{cc}{m}^2-m& -1\\ 0& m^2+m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}{m}^2-m=0\Rightarrow m=0\text{ o }m=1\\ m^2+m=2\Rightarrow m=1\text{ o }m=-2\end{array}$

El único valor que cumple las dos condiciones a la vez es $m=1$.



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

$A+B-I=\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 0& -m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m-1& 0\\ 0& 1-m\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A+B-I\mathrm{\mid }=(m-1)(1-m)=-(m-1{)}^2$

$-(m-1{)}^2\mathrm{\ne }0\Rightarrow m\mathrm{\ne }1$

La matriz $A+B-I$ tiene inversa para cualquier valor de $m$ distinto de 1.



Para $m=2$ la matriz es diagonal, y su determinante no es nulo, así que existe la inversa.

$A+B-I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\mathrm{\mid }A+B-I\mathrm{\mid }=-1\mathrm{\ne }0$

$(A+B-I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

La matriz coincide con su propia inversa, como se comprueba multiplicándolas: ${\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.