Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Se consideran las matrices:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\\ -1& -2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Resuelva la ecuación matricial $AX+X=B$. [1 punto]

b) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes: [1 punto]

b1) Calcule el determinante de la matriz $(2C{)}^{100}$ aplicando propiedades de los determinantes.

b2) Justifique si las matrices $A$ y $AB$ son invertibles.

Se saca $X$ como factor común por la derecha. Hay que escribir el segundo sumando como $IX$, porque lo que multiplica a $X$ tiene que ser una matriz:

$AX+X=B\Rightarrow AX+IX=B\Rightarrow (A+I)X=B\Rightarrow X=(A+I{)}^{-1}B$

La matriz $X$ es de tamaño $3\times 2$, el mismo que $B$. Para poder despejar así hace falta que $A+I$ tenga inversa, cosa que se comprueba con su determinante:

$A+I=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 2& 2\end{array}\right),\mathrm{\mid }A+I\mathrm{\mid }=2\cdot (2\cdot 2-0\cdot 2)=8\mathrm{\ne }0$

Se calcula la inversa por la matriz adjunta:

$(A+I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A+I\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{adj}(A+I))}^t={\displaystyle \frac{1}{8}}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& -2\\ 0& 4& 0\\ 0& -4& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Solo queda multiplicar por $B$:

$X=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& 0\\ -1& -1\end{array}\right)$

Esa es la solución de la ecuación matricial, como se comprueba sin más que calcular $AX+X$ y recuperar $B$.



Se usan dos propiedades. Al multiplicar una matriz de orden $n$ por un número, el determinante queda multiplicado por ese número tantas veces como filas tiene la matriz; y el determinante de un producto es el producto de los determinantes, así que el de una potencia es la potencia del determinante:

$\mathrm{\mid }2C\mathrm{\mid }=2^3\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid },\mid M^n\mid =\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^n$

La matriz $C$ es triangular inferior, de modo que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=1\cdot 1\cdot 1=1$

$\mid (2C{)}^{100}\mid =\mathrm{\mid }2C{\mathrm{\mid }}^{100}={\left(2^3\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }\right)}^{100}={\left(2^3\right)}^{100}=2^{300}=8^{100}$



Una matriz tiene inversa si es cuadrada y su determinante no se anula. La matriz $A$ cumple las dos cosas: es de orden tres y su determinante, desarrollado por la primera columna, vale

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\mid =1\cdot (1\cdot 1-0\cdot 2)=1\mathrm{\ne }0$

luego $A$ es invertible.

El producto $AB$ existe (las dimensiones encajan: $3\times 3$ por $3\times 2$) y es una matriz $3\times 2$. Al no ser cuadrada no tiene determinante y no puede ser invertible.

En el examen basta con responder a uno de los dos apartados, b1) o b2).