Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Problema 4.

Sea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La justificación de que $A$ tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa. (3 puntos)
b) Dos constantes $a,b$ de modo que $A^{-1}=A^2+aA+bI$. Se puede usar (sin comprobarlo) que $A$ verifica la ecuación $A^3-3A^2+3A-I=0$ siendo $I$ la matriz identidad. (3 puntos)
c) El valor de $\lambda$ para que el sistema de ecuaciones $(A-\lambda I)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de $\lambda$ hallar todas las soluciones del sistema. (2+2 puntos)

$\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{escribiendo}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pasos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{razonamiento}}\mathbf{\text{utilizado:}}$
$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{justificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\mathrm{\exists }{A}^{-1}⟺\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0;\Rightarrow \mathrm{\exists }{A}^{-1}$

Calculamos la inversa:
$A^{-1}=\frac{\mathrm{Adj}(A^T)}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}\frac{\mathrm{Adj}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}{1}$=$\left(\begin{array}{ccc}+\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\mid & +\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\mid \\ \\ -\mid \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\mid & +\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\mid \\ \\ +\mid \begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 2\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 2\end{array}\mid & +\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}{A}^{-1}=A^2+aA+bI;\text{sabiendo que }{A}^3-3A^2+3A-I=0$

Partimos de: $A^{-1}=A^2+aA+bI$

Multiplicamos por ($A$) por la izquierda: $A{A}^{-1}=A^3+a{A}^2+bA$

Como $A{A}^{-1}=I$: $I=A^3+a{A}^2+bA$

Lo comparamos con: $A^3-3A^2+3A-I=0\Rightarrow A^3-3A^2+3A=I$

Por identificación de coeficientes:

$a=-3,b=3$

$\boxed{{\displaystyle a=-3;b=3}}$


El valor de $\lambda$ para que el sistema de ecuaciones

$(A-\lambda I)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ tenga infinitas soluciones.

Calculamos $A-\lambda I$.

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)-\lambda \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 0\\ 0& 1-\lambda & 0\\ 0& 2& 1-\lambda \end{array}\right)=B$

Para que el sistema indicado, que es homogéneo, tenga infinitas soluciones debe ser $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=0$.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 0\\ 0& 1-\lambda & 0\\ 0& 2& 1-\lambda \end{array}\mid =(1-\lambda {)}^3$

$(1-\lambda {)}^3=0\Rightarrow 1-\lambda =0\Rightarrow \lambda =1$

Para $\lambda =1$, el sistema a resolver es:

$\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}2y=0\\ 2y=0\end{array}\Rightarrow y=0$

Solución del sistema: $\{\begin{array}{l}x=\alpha \\ y=0\\ z=\beta \end{array}\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$