Matemáticas II · Matrices · Comunidad Valenciana · 2021

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Problema 4.

Se dan las matrices A=[123−1a11a2−23] y B=[1−12][1 2 3]. Obtened:

a) El rango de la matriz A según los valores del parámetro a. (3 puntos)
b) Una matriz C tal que AC=16I, siendo I la matriz identidad, cuando a=0. (4 puntos)
c) El rango de la matriz B y la discusión de si el sistema B[xyz]=[1−12] tiene solución. (3 puntos)

Solución

Problema 4. Se dan las matrices A=(123−1a11a2−23) y B=(1−12)[ 1  2  3 ]. Obtened:
a) El rango de la matriz A seguˊn los valores del paraˊmetro a. (3 puntos)
Estudiemos ∣A∣,

∣A∣=∣123−1a11a2−23∣=C3→3C3∣120−1a41a2−20∣ desarrollando por la 3ª columna=−4∣12a2−2−2∣=−4(2−2−2)=−4(a2−4)

igualando el determinante a 0⇒−4(a2−4)=0⇒a2−4=0⇒a2=4⇒a=±4=±2

Por tanto,

Si a≠−2 y 2 → ∣A∣≠0⇒ran(A)=3

Si a=−2, ⇒ A=(123−1−21123)sabemos que ∣A∣=0 ⇒como ∣23−21∣=2+6=8≠0⇒ran(A)=2

Si a=2, ⇒ A=(123−121123)sabemos que ∣A∣=0 ⇒como ∣2321∣=2−6=−4≠0⇒ran(A)=2

Finalmente,

Si a≠−2 y 2, ran(A)=3
Si a=−2 o a=2, ran(A)=2

b) Una matriz C tal que AC=16I, siendo I la matriz identidad, cuando a=0. (4 puntos)

Como a=0 (a≠−2 y 2), ran(A)=3 y existe A−1.
Sabemos que:

∣A∣=−4(a2−4)⇒∣A∣a=0=[−4(a2−4)]a=0=−4(02−4)=16

Calculamos A−1,

A−1=Adj⁡(AT)∣A∣=116Adj(1−1120−2313)=116(+∣0−213∣−∣2−233∣+∣2031∣−∣−1113∣+∣1133∣−∣1−131∣+∣−110−2∣−∣112−2∣+∣1−120∣)⇒A−1=116(2−12240−4242)

Finalmente, A−1=116(2−12240−4242)

Obtenemos la matriz
#x27; in math mode at position 75: …izquierda por} $̲ltx A^{-1} " style="color:#cc0000">C \Rightarrow AC=16I\Rightarrow \text{multiplicando por la izquierda por} $ltx A^{-1} ,

A−1AC=A−116I⇒IC=16A−1⇒C=16A−1

Luego ⇒C=16⋅116(2−12240−4242)=(2−12240−4242)

Solución: C=(2−12240−4242)

c) El rango de la matriz B y la discusioˊn de si el sistema B(xyz)=(1−12) tiene solucioˊn. (3 puntos)

B=(123−1−2−3246)

En esta matriz ⇒F2=−F1yF3=2F1,

tiene una sola fila linealmente independiente, luego ⇒ran(B)=1.

d) ¿El sistema Bx=y tiene solución?

La matriz ampliada de este sistema es: M∗=(1231−1−2−3−12462)

En esta matriz también se cumple que F2=−F1yF3=2F1,

pero el término independiente sí es proporcional, luego ran(B)=ran(M∗)=1<nº de incoˊgnitas,

por tanto el sistema es compatible indeterminado y tiene solución.

Aunque no se pide, la solución sería:

De la primera ecuación despejamos⇒ ⇒x=1−2y−3z

Por tanto, {x=1−2λ−3μy=λz=μλ,μ∈R

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