Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Problema 2.

Dada la matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}m& 0& m-1\\ -2m& m^2& 1\\ 0& 2m& 1\end{array}\right]$. Determinar:

a) El rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$. (4 puntos)
b) La matriz inversa de $A$ en el caso $m=2$. (4 puntos)
c) El número real $m$ para el cual el determinante de la matriz $2A$ es igual a $-8$. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{real}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Estudiemos el determinante de $A$,

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}m& 0& m-1\\ 2m& m^2& 1\\ 0& 2m& 1\end{array}\mid =m^3-4m^2(m-1)-2m^2=m^3-4m^3+4m^2-2m^2=-3m^3+2m^2=m^2(2-3m)$ $m^2(2-3m)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}{m}^2=0\Rightarrow m=0\\ 2-3m=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$

Por tanto,

Si $m\mathrm{\ne }0,{\displaystyle \frac{2}{3}}$ → $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3$

Si $m={\displaystyle \frac{2}{3}}$,

$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& 0& \frac{2}{3}-1\\ 2\cdot \frac{2}{3}& {\left(\frac{2}{3}\right)}^2& 1\\ 0& 2\cdot \frac{2}{3}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& 0& \frac{2}{3}-1\\ -\frac{4}{3}& \frac{4}{9}& 1\\ 0& \frac{4}{3}& 1\end{array}\right)$

sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$

como $\mid \begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{4}{3}& \frac{4}{9}\end{array}\mid =\frac{8}{27}\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Si $m=0$,

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ Cualquier menor de orden 2 de esta matriz contiene una columna de ceros por lo que los menores de orden dos son nulos.

Como, por ejemplo $\mid \begin{array}{c}-1=1\end{array}\mid \mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=1$

Finalmente,
Si $m\mathrm{\ne }0,{\displaystyle \frac{2}{3}}$, $\mathrm{ran}(A)=3$;
si $m={\displaystyle \frac{2}{3}}$, $\mathrm{ran}(A)=2$ y
si $m=0$, $\mathrm{ran}(A)=1$.


Como $2\mathrm{\ne }0$ y $\frac{2}{3}$ por lo calculado en el apartado anterior, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }{A}^{-1}$

Si $m=2$, $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -4& 4& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=m^2(2-3m)\Rightarrow \mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}_{m=2}=2^2(2-3\cdot 2)=4(2-6)=-16$

Calculemos $A^{-1}$:



Finalmente,

$A^{-1}=\frac{1}{-16}\left(\begin{array}{ccc}0& 4& -4\\ -4& 2& -6\\ -16& -8& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}& \frac{3}{8}\\ 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Solución: $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}& \frac{3}{8}\\ 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$



$2\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=m^2(2-3m)\cdot 2\cdot (-8)\Rightarrow 8A=-8\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1$

Como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=m^2(2-3m)$ debemos resolver: $m^2(2-3m)=-1\Rightarrow 2m^2-3m^3=-1\Rightarrow -3m^3+2m^2+1=0$

Resolviendo la ecuación por Ruffini y aplicando la ecuación de segundo grado $\Rightarrow -3m^2-m+1=0$

$m=\frac{1\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(-3)(1)}}{2\cdot 3}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{6}$ → sin soluciones reales.

La única solución es $m=1$.

Por tanto, $2\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-8$ para $m=1$.