Matemáticas II · Matrices · Comunidad Valenciana · 2024

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Problema 1.

Se considera la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array})

donde

k

es un número real.

a) ¿Para qué valores del parámetro

k

la matriz

A

es invertible? (2 puntos)
b) Para

k = 0

, si existe, calcular la matriz inversa de

A

. (4 puntos)
c) Para

k = 0

, hallar las matrices diagonales

D

que verifican

A D = D A

. (4 puntos)

Solución

A = (\begin{array}{ccc} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array}), k \in R

a) ¿Para qu \overset{ˊ}{e} valores del par \overset{ˊ}{a} metro k la matriz A es invertible? (2 puntos)

Una matriz A_{3 \times 3} es invertible si \det (A) \neq 0.

\det (A) = ∣ \begin{array}{ccc} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array} ∣ = k^{2} - k - 2

\det (A) = 0 \Rightarrow k^{2} - k - 2 = 0 \Rightarrow {\begin{cases} k = 1 \\ k = 2 \end{cases}

\Rightarrow A^{- 1} existe para k \in R ∖ {- 1, 2}

b) Para k = 0, si existe, calcular la matriz inversa de A . (4 puntos)

A^{- 1} = \frac{1}{\det (A)} [Adj (A)]^{t}

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array})

\det (A) = k^{2} - k - 2 = - 2

Adj (A) = (\begin{array}{ccc} ∣ \begin{array}{cc} \frac{1}{3} & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} ∣ & - ∣ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} ∣ & ∣ \begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{3} \\ 2 & - 1 \end{array} ∣ \\ - ∣ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ - 1 & - 1 \end{array} ∣ & ∣ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array} ∣ & - ∣ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 2 & - 1 \end{array} ∣ \\ ∣ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ \frac{1}{3} & 1 \end{array} ∣ & - ∣ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} ∣ & ∣ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{array} ∣ \end{array}) = (\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & 2 & - \frac{2}{3} \\ - 3 & - 6 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array})

[Adj (A)]^{t} = (\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & - 3 & - 1 \\ 2 & - 6 & 0 \\ - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array})

\Rightarrow A^{- 1} = - \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & - 3 & - 1 \\ 2 & - 6 & 0 \\ - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} - \frac{1}{3} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & 3 & 0 \\ \frac{1}{3} & 0 & 0 \end{array})

c) Para k = 0, hallar las matrices diagonales D que verifican A D = D A . (4 puntos)

Una matriz diagonal D_{3 \times 3} es aquella cuyos elementos d_{i j} = 0 si i \neq j .

A \cdot D = D \cdot A \Rightarrow (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array}) = (\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array}) (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{array}) \Rightarrow a = b = c

Por tanto, las matrices D buscadas son:

D = (\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{array}), \forall a \in R

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