Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sea $A$ una matriz de tamaño 3×4 tal que sus dos primeras filas son $(1,1,1,1)$ y $(1,2,3,4)$, y sin ningún cero en la tercera fila. En cada uno de los apartados siguientes, se pide poner un ejemplo de matriz $A$ que verifique la condición pedida, justificándolo apropiadamente:

a) (0.5 puntos) La tercera fila de $A$ es combinación lineal de las dos primeras.
b) (0.5 puntos) Las tres filas de $A$ son linealmente independientes.
c) (0.5 puntos) $A$ es la matriz ampliada de un sistema compatible determinado.
d) (0.5 puntos) $A$ es la matriz ampliada de un sistema compatible indeterminado.
e) (0.5 puntos) $A$ es la matriz ampliada de un sistema incompatible.

Las dos primeras filas están fijadas y son independientes entre sí, porque no son proporcionales. Todo depende, entonces, de la tercera, que solo tiene la restricción de no llevar ningún cero.

$F_1=(1,1,1,1);F_2=(1,2,3,4)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{fila}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{combinaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{primeras.}}$

Basta sumar las dos filas dadas; el resultado no tiene ningún cero.

$F_3=F_1+F_2=(2,3,4,5)\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{filas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{linealmente}}\mathbf{\text{independientes.}}$

Ahora hace falta que el rango sea 3, es decir, que exista un menor de orden tres no nulo. Probamos con $F_3=(1,1,2,1)$ y el menor de las columnas primera, segunda y cuarta.

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =0$

Ese no sirve; tomamos el de las columnas primera, tercera y cuarta.

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 4\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =1(3-8)-1(1-4)+1(2-3)=-3\mathrm{\ne }0$

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 1& 2& 1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{ampliada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{determinado.}}$

Leída como matriz ampliada, las tres primeras columnas son los coeficientes y la cuarta los términos independientes. Para que el sistema sea compatible determinado el rango de la matriz de coeficientes debe ser 3.

$F_3=(1,1,2,1)\Rightarrow \mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

Sirve la misma matriz del apartado anterior: los dos rangos valen 3, igual que el número de incógnitas.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{ampliada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}$

Ahora los dos rangos han de coincidir y valer 2, lo que se consigue si la tercera fila entera es combinación de las otras dos: sirve la del apartado a).

$F_3=(2,3,4,5)\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{ampliada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{incompatible.}}$

Aquí hay que romper la combinación solo en el término independiente: que los coeficientes de la tercera fila sean la suma de los de las dos primeras, pero el último número no.

$F_3=(2,3,4,6)\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 3& 4& 6\end{array}\mid \mathrm{\ne }0$