Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)yB=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 1& b\end{array}\right)$,

se pide:
a) (0.5 puntos) Calcular el determinante de $A^{t}A$.
b) (0.5 puntos) Calcular el rango de $BA$ en función de $b$.
c) (0.75 puntos) Calcular $B^{-1}$ para $b=2$.
d) (0.75 puntos) Para $b=1$, calcular $B^5$.

$A$ es de orden $2\times 3$, así que $A^{t}A$ es cuadrada de orden 3. Basta multiplicar.

$A^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 2& -2\\ 2& 1& 0\\ -2& 0& 4\end{array}\right)$

$\mid A^{t}A\mid =0$

El resultado era previsible sin operar: el rango de un producto no supera el de sus factores, y el de $A$ es como mucho 2, luego $A^{t}A$ nunca puede tener rango 3.



$BA=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 1& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2b& b& 0\\ 2-b& 1& 2b\end{array}\right)$

Al tener dos filas el rango es como mucho 2, y para alcanzarlo basta un menor de orden dos no nulo. Tomamos el de las dos últimas columnas.

$\mid \begin{array}{cc}b& 0\\ 1& 2b\end{array}\mid =2b^2$

$b\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(BA)=2$

Si $b=0$ la primera fila se anula entera y la segunda no, de modo que queda una sola fila linealmente independiente.

$b=0\Rightarrow BA=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rg}(BA)=1$



Comprobamos primero que el determinante no se anula y aplicamos la fórmula de la inversa.

$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right),\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=4\mathrm{\ne }0$

$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ -\frac{1}{4}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$



Con $b=1$ conviene calcular las primeras potencias y buscar el patrón, en vez de multiplicar cinco veces.

$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right);B^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$

Cada potencia suma una unidad al término de la esquina inferior izquierda, así que $B^n$ lleva ahí una $n$.

$B^5=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& 1\end{array}\right)$