Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Galicia · 2021

1. Números y Álgebra:
Despeje $X$ en la ecuación matricial $B(X-I)=A$, donde $I$ es la matriz identidad y $A$ y $B$ son matrices cuadradas, con $B$ invertible. Luego, calcule $X$ si
$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ -2& 2& -2\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1\mathrm{/}2& 0\\ 0& 0& 1\mathrm{/}3\end{array}\right)\mathrm{.}$

La incógnita va multiplicada por la izquierda por $B$, así que despejamos multiplicando por $B^{-1}$ por ese mismo lado.

$B^{-1}B(X-I)=B^{-1}A\Rightarrow X-I=B^{-1}A\Rightarrow X=B^{-1}A+I$

Pasamos a las matrices concretas. Como $B$ es diagonal, su inversa es la diagonal de los inversos.

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{\ne }0\Rightarrow B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

Multiplicar por una diagonal por la izquierda equivale a multiplicar cada fila por el elemento correspondiente.

$B^{-1}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ -2& 2& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 2& 2\\ -6& 6& -6\end{array}\right)$

$X=B^{-1}A+I=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 2& 2\\ -6& 6& -6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Finalmente, $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 3& 2\\ -6& 6& -5\end{array}\right)$.