Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Galicia · 2022

1. Números y Álgebra
Despeje $X$ de la ecuación matricial $AB(X-I)=C$, donde $I$ es la matriz identidad (asuma que el producto $AB$ tiene inversa). Luego, calcule $X$ si
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

La incógnita aparece multiplicada por la izquierda por el producto $AB$, así que despejamos multiplicando por su inversa, también por la izquierda.

$(AB{)}^{-1}AB(X-I)=(AB{)}^{-1}C\Rightarrow X-I=(AB{)}^{-1}C$

$X=(AB{)}^{-1}C+I$

Pasamos a las matrices concretas. Calculamos primero el producto $AB$.

$AB=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 4& 6\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}4& 4& 6\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\mid =8+0+0-6-0-0=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }(AB{)}^{-1}$

Calculamos la inversa por la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$(AB{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& -8& -6\\ 0& 2& 0\\ -1& 4& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& -3\\ 0& 1& 0\\ -\frac{1}{2}& 2& 2\end{array}\right)$

$(AB{)}^{-1}C=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& -3\\ 0& 1& 0\\ -\frac{1}{2}& 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

$X=(AB{)}^{-1}C+I=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Finalmente, $X=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$. Se comprueba que $AB(X-I)=C$.