Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Galicia · 2024

PREGUNTA 1. Números y Álgebra. (2 puntos)
Sean $A$ y $B$ dos matrices tales que $A+2B=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 0& 3\end{array}\right)$ y $A+B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

a) Calcule $A^2$.
b) Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A^{2}X-(A+B{)}^T=3I-2X$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $(A+B{)}^T$ la traspuesta de $(A+B)$.

Las dos igualdades del enunciado forman un sistema matricial del que despejamos $A$ y $B$. Restando la segunda de la primera desaparece $A$:

$(A+2B)-(A+B)=B\Rightarrow B=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A=(A+B)-B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4+0& 2+1\\ 0+0& 0+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$



Agrupamos en el primer miembro los términos con la incógnita y sacamos $X$ como factor común por la derecha, que es el lado por el que aparece en los dos sumandos.

$A^{2}X+2X=3I+(A+B{)}^T\Rightarrow (A^2+2I)X=3I+(A+B{)}^T$

Calculamos las dos matrices que intervienen.

$A^2+2I=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 0& 3\end{array}\right)$

$3I+(A+B{)}^T=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ -1& 5\end{array}\right)$

Comprobamos que $A^2+2I$ es invertible y calculamos su inversa.

$\mid A^2+2I\mid =\mid \begin{array}{cc}6& 3\\ 0& 3\end{array}\mid =18\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }{(A^2+2I)}^{-1}$

${(A^2+2I)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{18}}\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 0& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{6}& -\frac{1}{6}\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)$

$X={(A^2+2I)}^{-1}(3I+(A+B{)}^T)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{6}& -\frac{1}{6}\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ -1& 5\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}\frac{7}{6}+\frac{1}{6}& -\frac{5}{6}\\ -\frac{1}{3}& \frac{5}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{3}& -\frac{5}{6}\\ -\frac{1}{3}& \frac{5}{3}\end{array}\right)$

Finalmente, $X={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}8& -5\\ -2& 10\end{array}\right)$.