Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Ejercicio B1
Sea la matriz
$A=\left(\begin{array}{ccc}m& m& 2\\ 1& m-2& 0\\ 0& 2& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$

(a) Determina para qué valores del parámetro $m$ la matriz $A$ no tiene inversa.
(b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $m=0$.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta ver cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}m& m& 2\\ 1& m-2& 0\\ 0& 2& 2\end{array}\mid$

Desarrollamos por la tercera fila, que tiene un cero:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2\mid \begin{array}{cc}m& 2\\ 1& 0\end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}m& m\\ 1& m-2\end{array}\mid$

$=-2(0-2)+2[m(m-2)-m]=4+2(m^2-3m)$

$=2m^2-6m+4=2(m^2-3m+2)=2(m-1)(m-2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}$

La matriz $A$ no tiene inversa para $m=1$ y para $m=2$; para cualquier otro valor sí la tiene.



Es posible, porque $m=0$ no es ninguno de los dos valores excluidos. La matriz y su determinante son:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& -2& 0\\ 0& 2& 2\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(0-1)(0-2)=4\mathrm{\ne }0$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\text{Adj}(A{)}^t$

Los adjuntos de $A$ son:

$\text{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-4& -2& 2\\ 4& 0& 0\\ 4& 2& 0\end{array}\right)$

Trasponiendo y dividiendo entre el determinante:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}-4& 4& 4\\ -2& 0& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& -2& 0\\ 0& 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$