Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 El estado tensional en un punto de un sólido elástico se define a partir de una matriz cuadrada $T$ de orden 3. El vector tensión en la dirección de $v=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ viene dado por $u=Tv$. Para

$T=\left(\begin{array}{ccc}2& m& 0\\ m& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ y $u=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$,

se pide:

2.1.1 Discutir el sistema de ecuaciones lineales $Tv=u$ en función del parámetro real $m$. (1 punto)
2.1.2 Resolver el sistema $Tv=u$ para $m=-1$. (0.75 puntos)
2.1.3 Se llaman tensiones principales de $T$ a los valores reales $\alpha$ tales que $det(T-\alpha I)=0$, siendo $I$ la matriz identidad. Calcular las tensiones principales para $m=2$. (0.75 puntos)

El sistema es:

$\left(\begin{array}{ccc}2& m& 0\\ m& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Es decir:

$\{\begin{array}{l}2x+my=4\\ mx+2y=4\\ z=-2\end{array}$

Para discutirlo usamos el determinante de la matriz de coeficientes:

$\det (T)=\mid \begin{array}{ccc}2& m& 0\\ m& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}2& m\\ m& 2\end{array}\mid =4-m^2$

Entonces:

$\det (T)=0\Rightarrow 4-m^2=0\Rightarrow m=\pm 2$

Si $m\mathrm{\ne }\pm 2$, entonces $\det (T)\mathrm{\ne }0$, luego el sistema es compatible determinado.

Estudiamos los casos especiales.

Para $m=2$:

$\{\begin{array}{l}2x+2y=4\\ 2x+2y=4\\ z=-2\end{array}$

Las dos primeras ecuaciones son iguales, luego hay infinitas soluciones. Es compatible indeterminado.

Para $m=-2$:

$\{\begin{array}{l}2x-2y=4\\ -2x+2y=4\\ z=-2\end{array}$

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias, porque equivalen a:

$x-y=2,x-y=-2$

Luego el sistema es incompatible.

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}m\mathrm{\ne }\pm 2\Rightarrow \text{compatible determinado}\\ m=2\Rightarrow \text{compatible indeterminado}\\ m=-2\Rightarrow \text{incompatible}\end{array}$



Sustituimos $m=-1$:

$\{\begin{array}{l}2x-y=4\\ -x+2y=4\\ z=-2\end{array}$

De la primera ecuación:

$y=2x-4$

Sustituyendo en la segunda:

$-x+2(2x-4)=4\Rightarrow -x+4x-8=4\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4$

Entonces:

$y=2\cdot 4-4=4$

Y:

$z=-2$

Por tanto:

$v=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$



Las tensiones principales son los valores de $\alpha$ que cumplen:

$\det (T-\alpha I)=0$

Para $m=2$:

$T=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 2& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Entonces:

$T-\alpha I=\left(\begin{array}{ccc}2-\alpha & 2& 0\\ 2& 2-\alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right)$

Calculamos el determinante:

$\det (T-\alpha I)=(1-\alpha )((2-\alpha {)}^2-4)$

$\det (T-\alpha I)=(1-\alpha )({\alpha }^2-4\alpha )=(1-\alpha )\alpha (\alpha -4)$

Igualamos a cero:

$(1-\alpha )\alpha (\alpha -4)=0$

Por tanto, las tensiones principales son:

$\alpha =0,\alpha =1,\alpha =4$