Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Cuestión 2.

Considere las matrices
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ 2& 1\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) [1,5 p.] Compruebe que la matriz $A$ es regular (o inversible) y calcule su inversa.

b) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX-B=C^t$, donde $C^t$ denota la matriz traspuesta de $C$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{regular}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{inversible)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{inversa.}}$

Una matriz es regular exactamente cuando su determinante no se anula. Lo desarrollamos por la segunda fila, que tiene dos ceros.

$\det (A)=1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =2-1=1\mathrm{\ne }0$

La matriz es regular y existe su inversa, que calculamos con la traspuesta de la matriz de adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& -1& 1\end{array}\right)=I$



Despejamos $X$ multiplicando por la inversa por la izquierda, que es el lado por el que aparece $A$.

$AX=C^t+B\Rightarrow X=A^{-1}(C^t+B)$

$C^t=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\\ -1& 1\end{array}\right),C^t+B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\\ 1& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$

Comprobamos en la ecuación de partida:

$AX-B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\\ 1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=C^t$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$.