Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Cuestión 2.

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}2& a\\ -1& 2\end{array}\right)$.

a) [1 p.] Si se denota por $\mathrm{tr}(A)$ la traza de la matriz $A$ (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ el determinante de $A$, compruebe que, para cualquier valor de $a$, se cumple la ecuación $A^2=\mathrm{tr}(A)A-\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

b) [0,5 p.] Determine para que valores de $a$ la matriz $A$ es regular (o inversible).

c) [1 p.] Para $a=-3$, resuelva la ecuación matricial $AX-A^t=A$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

Calculamos por separado los dos miembros de la igualdad, dejando el parámetro sin sustituir.

$\mathrm{tr}(A)=4,\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4+a$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& a\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& a\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-a& 4a\\ -4& 4-a\end{array}\right)$

$\mathrm{tr}(A)A-\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }I=\left(\begin{array}{cc}8& 4a\\ -4& 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4+a& 0\\ 0& 4+a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-a& 4a\\ -4& 4-a\end{array}\right)$

Los dos miembros coinciden para todo valor de $a$, luego la igualdad queda comprobada.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{regular}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{inversible).}}$

Una matriz cuadrada es regular exactamente cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4+a\mathrm{\ne }0⟺a\mathrm{\ne }-4$

La matriz es regular para todo valor del parámetro salvo $a=-4$.



Con $a=-3$ el determinante vale $1\mathrm{\ne }0$, así que la matriz es invertible y podemos despejar multiplicando por la izquierda.

$AX=A+A^t\Rightarrow X=A^{-1}(A+A^t)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right),A+A^t=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ -4& 4\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ -4& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 4\\ -4& 4\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado: $AX=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ -4& 4\end{array}\right)=A+A^t$.

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-4& 4\\ -4& 4\end{array}\right)$.