Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 2B (2,5 puntos)

Sean $a$ y $b$ dos números reales y sea

$A=\left(\begin{array}{cc}a+b& 2a\\ 2b& a+b\end{array}\right)\mathrm{.}$

(a) (0,75 puntos) Decide si existe la inversa de $A$ en función de los valores de los parámetros $a$ y $b$.

(b) (1,75 puntos) En el caso particular en que $a=1$ y $b=2$ resuelve, si es posible, la ecuación matricial

$AX-A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Decide}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta calcularlo y ver cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}a+b& 2a\\ 2b& a+b\end{array}\mid =(a+b{)}^2-4ab$

$=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\iff (a-b{)}^2=0\iff a=b$

La matriz $A$ tiene inversa siempre que $a\mathrm{\ne }b$, y no la tiene cuando $a=b$.



Con esos valores $a\mathrm{\ne }b$, luego por el apartado anterior la inversa existe y la ecuación se puede resolver. Escribimos la matriz y comprobamos su determinante:

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(1-2{)}^2=1\mathrm{\ne }0$

Despejamos $X$ en la ecuación matricial. Como el producto de matrices no es conmutativo, hay que multiplicar por la inversa siempre por el mismo lado, en este caso por la izquierda:

$AX-A^3=I\Rightarrow AX=I+A^3$

$A^{-1}(AX)=A^{-1}(I+A^3)\Rightarrow X=A^{-1}+A^{-1}{A}^3=A^{-1}+A^2$

Calculamos la inversa. Al ser $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$, coincide con la traspuesta de la matriz adjunta:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\text{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$

Y el cuadrado:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}17& 12\\ 24& 17\end{array}\right)$

Sumando ambas:

$X=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}17& 12\\ 24& 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}20& 10\\ 20& 20\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$AX=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}20& 10\\ 20& 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}100& 70\\ 140& 100\end{array}\right)$

$A^3=\left(\begin{array}{cc}99& 70\\ 140& 99\end{array}\right)\Rightarrow AX-A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}20& 10\\ 20& 20\end{array}\right)$.