Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2022

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 3\\ 2a& 5& 3a\\ 7& 4a& 9\end{array}\right)$, que depende del parámetro $a$.

a) Calcule el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]
b) Si $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, resuelva la ecuación matricial siguiente: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La matriz es cuadrada de orden 3, así que su rango es 3 siempre que el determinante no se anule. Empezamos calculándolo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a& 3\\ 2a& 5& 3a\\ 7& 4a& 9\end{array}\mid =45+21a^2+24a^2-(105+12a^2+18a^2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=45+45a^2-105-30a^2=15a^2-60=15(a^2-4)=15(a-2)(a+2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ a=-2\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }-2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(A)=3$.

Si $a=2$ o $a=-2$, el determinante se anula y el rango baja. Buscamos un menor de orden 2 no nulo, y basta uno que valga lo mismo en los dos casos.

$\mid \begin{array}{cc}1& a\\ 2a& 5\end{array}\mid =5-2a^2$

$a=\pm 2\Rightarrow 5-2\cdot 4=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 para todo $a\mathrm{\ne }\pm 2$, y es 2 para $a=2$ y para $a=-2$.



La matriz del enunciado es la del apartado anterior para $a=2$, así que ya sabemos que su rango es 2. Se trata de un sistema homogéneo, que siempre es compatible; como el rango es menor que el número de incógnitas, es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones además de la trivial.

$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=0\\ 4x+5y+6z=0\\ 7x+8y+9z=0\end{array}$

Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo, y pasamos $z$ al segundo miembro.

$\{\begin{array}{l}x+2y=-3z\\ 4x+5y=-6z\end{array}$

Restando a la segunda ecuación cuatro veces la primera:

$5y-8y=-6z+12z\Rightarrow -3y=6z\Rightarrow y=-2z$

$x=-3z-2y=-3z-2(-2z)=-3z+4z=z$

$X=\left(\begin{array}{c}t\\ -2t\\ t\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right),t\in \mathbb{R}$

Comprobamos con la tercera ecuación: $7t-16t+9t=0$.

Las soluciones de la ecuación matricial son todas las matrices columna proporcionales a $(1,-2,1{)}^T$; entre ellas, para $t=0$, la solución trivial.