Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Cuestión 1B.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 que cumple que $A^2=O$, donde $O$ es la matriz nula de orden 3 (todos sus elementos son cero).

a) [0,75] Demuestre que $(A+I{)}^2=2A+I$, y que $(A+I{)}^3=3A+I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.
b) [0,75] Demuestre que la matriz $I-A$ es inversa de la matriz $I+A$.
c) [1] Resuelva la ecuación matricial $X+AX=A$ expresando $X$ en función de $A$.

Partimos de que $A$ es cuadrada de orden 3 con $A^2=O$, y de que la identidad conmuta con cualquier matriz: $AI=IA=A$ y $I^2=I$.



Desarrollamos el cuadrado como producto de los dos factores, sin suponer conmutatividad salvo con $I$.

$(A+I{)}^2=A^2+AI+IA+I^2=O+A+A+I=2A+I$

Para el cubo multiplicamos el resultado anterior por $(A+I)$ y volvemos a usar la hipótesis.

$(A+I{)}^3=(2A+I)(A+I)=2A^2+2A+A+I$

$(A+I{)}^3=2O+3A+I=3A+I$

Quedan demostradas las dos igualdades.



Por definición hay que comprobar que el producto de las dos matrices da la identidad en los dos órdenes, porque el producto de matrices no es conmutativo.

$(I+A)(I-A)=I^2-IA+AI-A^2=I-A+A-O=I$

$(I-A)(I+A)=I^2+IA-AI-A^2=I+A-A-O=I$

Al obtenerse la identidad en ambos casos, $I+A$ es invertible y su inversa es $(I+A{)}^{-1}=I-A$.



Sacamos factor común $X$ por la derecha, escribiendo $X=IX$.

$X+AX=IX+AX=(I+A)X=A$

Por el apartado anterior sabemos que $I+A$ es invertible, así que multiplicamos por su inversa por la izquierda.

$X=(I+A{)}^{-1}A=(I-A)A=A-A^2=A-O=A$

Comprobamos en la ecuación de partida: $X+AX=A+A^2=A+O=A$.

La solución de la ecuación matricial es $X=A$.