Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(2B) Sean $\alpha$ un número real y
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 1\\ 0& 1& 1\\ 0& \alpha & 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

(a) (0,5 puntos) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que existe la matriz inversa de $A$.
(b) (2 puntos) En el caso particular en que $\alpha =0$ calcula, si es posible, $A^{-1}$ y $A^{2025}$.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, así que lo calculamos. Como la primera columna solo tiene un elemento no nulo, conviene desarrollar por ella.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& \alpha & 1\\ 0& 1& 1\\ 0& \alpha & 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ \alpha & 1\end{array}\mid =1-\alpha$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\iff 1-\alpha \mathrm{\ne }0\iff \alpha \mathrm{\ne }1$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $\alpha \mathrm{\ne }1$.



Con $\alpha =0$ se cumple $\alpha \mathrm{\ne }1$, luego la inversa existe. La matriz queda:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\text{Adj}(A{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Para la potencia no hay que multiplicar 2025 veces: se calculan las primeras potencias, se detecta la regla que siguen y se generaliza.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Se observa que al elevar a $n$ la matriz solo cambia en los dos elementos de la última columna, que valen $n$:

$A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& n\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La fórmula se comprueba por inducción: suponiéndola cierta para $n$, al multiplicar por $A$ se obtiene la del exponente siguiente.

$A^n\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& n\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& n+1\\ 0& 1& n+1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Particularizando para el exponente pedido:

$A^{2025}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2025\\ 0& 1& 2025\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$