Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2021

a) Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$, resuelva la ecuación matricial $A^{2}X=A-3I$, donde $I$ es la matriz identidad. [1,25 puntos]
b) Una matriz cuadrada $M$ satisface que $M^3-3M^2+3M-I=0$, donde $I$ es la matriz identidad. Justifique que $M$ es invertible y exprese la inversa de $M$ en función de las matrices $M$ e $I$. [1,25 puntos]

Para despejar $X$ hay que multiplicar por la izquierda por la inversa de $A^2$, así que empezamos calculando las potencias de $A$.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

$A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$

De $A^3=I$ se deduce que $A^2\cdot A=I$, es decir, que $A^2$ es invertible y su inversa es $A$. Esto ahorra todo el cálculo de una inversa.

${\left(A^2\right)}^{-1}=A$

$A^{2}X=A-3I\Rightarrow A{A}^{2}X=A(A-3I)\Rightarrow X=A^2-3A$

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -3\\ -3& 0& 1\\ 1& -3& 0\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -3\\ -3& 0& 1\\ 1& -3& 0\end{array}\right)$.



Una matriz es invertible si existe otra cuyo producto por ella da la identidad, así que despejamos $I$ y sacamos $M$ como factor común.

$M^3-3M^2+3M-I=O\Rightarrow M^3-3M^2+3M=I$

$M(M^2-3M+3I)=I$

El factor común se puede sacar por la izquierda o por la derecha, porque $M$ conmuta con sus propias potencias y con la identidad:

$(M^2-3M+3I)M=M^3-3M^2+3M=I$

Al cumplirse el producto en los dos órdenes, la matriz $M^2-3M+3I$ es la inversa de $M$; en particular, $M$ es invertible.

$M^{-1}=M^2-3M+3I$

La matriz $M$ es invertible y su inversa es $M^{-1}=M^2-3M+3I$.