Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2021

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}a& a& 0\\ 2& a+1& a-1\\ 2a+1& 0& -a-3\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Encuentre para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible. [1 punto]
b) Compruebe que, para el caso $a=3$, la matriz $A$ es invertible y resuelva la ecuación matricial $AX=B-3I$, donde $B$ es la matriz $B=\left(\begin{array}{ccc}6& 3& 3\\ 2& 5& 2\\ 1& 1& 4\end{array}\right)$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo, así que lo calculamos y vemos cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& a& 0\\ 2& a+1& a-1\\ 2a+1& 0& -a-3\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-a(a+1)(a+3)+a(a-1)(2a+1)+0-[0+0-2a(a+3)]$

Sacamos $a$ como factor común, que aparece en los tres sumandos.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a[-(a+1)(a+3)+(a-1)(2a+1)+2(a+3)]$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a[-(a^2+4a+3)+(2a^2-a-1)+2a+6]=a(a^2-3a+2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a(a-1)(a-2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\\ a=2\end{array}$

La matriz $A$ es invertible para todo valor real de $a$ distinto de 0, 1 y 2.



Basta sustituir en el determinante del apartado anterior.

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 0\\ 2& 4& 2\\ 7& 0& -6\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3(3-1)(3-2)=6\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, $A$ es invertible y se puede despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$.

$A^{-1}AX=A^{-1}(B-3I)\Rightarrow X=A^{-1}(B-3I)$

$B-3I=\left(\begin{array}{ccc}6& 3& 3\\ 2& 5& 2\\ 1& 1& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 3\\ 2& 2& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Calculamos la inversa de $A$ con la matriz adjunta.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A{)}^T={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-24& 18& 6\\ 26& -18& -6\\ -28& 21& 6\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-24& 18& 6\\ 26& -18& -6\\ -28& 21& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 3\\ 2& 2& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-30& -30& -30\\ 36& 36& 36\\ -36& -36& -36\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-5& -5& -5\\ 6& 6& 6\\ -6& -6& -6\end{array}\right)$

Las tres columnas salen iguales porque también lo son las de $B-3I$. Comprobamos el resultado con la primera columna:

$\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 0\\ 2& 4& 2\\ 7& 0& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-15+18+0\\ -10+24-12\\ -35+0+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}-5& -5& -5\\ 6& 6& 6\\ -6& -6& -6\end{array}\right)$.