Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2020

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\right)$.

a) Encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación $AX=I-3X$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1,25 puntos]
b) Compruebe que la matriz $X$ es invertible y calcule su matriz inversa. [1,25 puntos]

Agrupamos en el primer miembro los términos que contienen $X$ y lo sacamos como factor común por la derecha, que es el lado por el que aparece en los dos sumandos.

$AX=I-3X\Rightarrow AX+3X=I$

$AX+3IX=I\Rightarrow (A+3I)X=I$

El paso clave es escribir $3X=3IX$: sin la identidad no se podría sacar factor común, porque $A$ y el número 3 no se suman.

$A+3I=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -3& -1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A+3I\mathrm{\mid }=4\cdot (-1)-1\cdot (-3)=-4+3=-1\mathrm{\ne }0$

Como el determinante no es nulo, $A+3I$ es invertible y $X=(A+3I{)}^{-1}$.

$X=(A+3I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado, que curiosamente coincide con la propia matriz $A$:

$AX=A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 9& 13\end{array}\right)$

$I-3X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ -9& -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 9& 13\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\right)$, que resulta ser la propia $A$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\mid =1\cdot (-4)-1\cdot (-3)=-4+3=-1\mathrm{\ne }0$

Luego $X$ es invertible. Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

$X^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }}}\left(\begin{array}{cc}-4& -1\\ 3& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}-4& -1\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -3& -1\end{array}\right)$

$X\cdot X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& 1-1\\ -12+12& -3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

La matriz $X$ es invertible, con $\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=-1$, y su inversa es $X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -3& -1\end{array}\right)$, que es justamente la matriz $A+3I$ del apartado anterior.