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Examen de Matemáticas II de Cataluña 2020 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Cataluña, convocatoria ordinaria de 2020. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Optimización

Trazamos la recta tangente a la función

f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1

por un punto

P = (a, f (a))

del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

Figura del ejercicio

a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de

a

, viene dada por la función

g (a) = \frac{(a^{2} + 3)^{2}}{4 a}

. [1,25 puntos]
b) ¿En qué punto

P

el área del triángulo es mínima? Calcule este valor mínimo. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real

k

{\begin{cases} 5 x + y + 4 z = 19 \\ k x + 2 y + 8 z = 28 \\ 5 x + y - k z = 23 + k \end{cases}

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro

k

. [1,25 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso

k = 0

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

a) Calcule la ecuación general del plano

π

que pasa por el punto

(8, 8, 8)

y tiene como vectores directores

\vec{u} = (1, 2, - 3)

\vec{v} = (- 1, 0, 3)

. [1,25 puntos]
b) Determine el valor del parámetro

a

para que el punto

(1, - 5, a)

pertenezca al plano

π

y calcule la ecuación paramétrica de la recta que pasa por este punto y es perpendicular al plano

π

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Funciones

Considere la función

f (x) = \frac{a x^{2} + b}{x}

, donde

a

b

son dos parámetros reales. Calcule los valores de

a

b

de manera que la función

f (x)

tenga una asíntota oblicua de pendiente 1 y un mínimo en el punto de la gráfica de abscisa

x = 2

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sea la matriz

A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array})

.

a) Encuentre la matriz

X

que satisface la ecuación

A X = I - 3 X

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2. [1,25 puntos]
b) Compruebe que la matriz

X

es invertible y calcule su matriz inversa. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Integrales y Áreas

Considere la función

f (x) = x^{3}

.

a) Calcule en qué punto del tercer cuadrante la recta tangente a

y = f (x)

es paralela a la recta

3 x - y = 4

. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este punto y haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función y las dos rectas. [1,25 puntos]
b) Calcule el área de la región delimitada por

y = f (x)

y la recta

y = 3 x + 2

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Examen de Matemáticas II de Cataluña 2020 (convocatoria ordinaria)

Ejercicio 1: Optimización

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio 4: Funciones

Ejercicio 5: Matrices

Ejercicio 6: Integrales y Áreas

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