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Examen de Matemáticas II de Cataluña 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Cataluña, convocatoria ordinaria de 2021. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Optimización

Considere la parábola y=4−x2 y un valor a>0.

a) Compruebe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa x=a es y=−2ax+a2+4 y calcule los puntos de corte de esta recta tangente con los ejes de coordenadas. [1,25 puntos]
b) Calcule el valor de a>0 para que el área del triángulo determinado por esta recta tangente y los ejes de coordenadas sea mínima. [1,25 puntos]

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Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real p:

{px+y+z=22x+py+p2z=12x+y+z=2

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro p. [1,5 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso p=2. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Considere el punto P=(−1,3,1), el plano π:x=y y la recta r:x−12=y3=z−2.

a) Encuentre las coordenadas del punto P′ simétrico a P respecto al plano π. [1,25 puntos]
b) De todos los planos que contienen la recta r, encuentre la ecuación cartesiana del que es perpendicular al plano π. [1,25 puntos]

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Ejercicio 4: Funciones

Sea la función f(x)=ln⁡(x)x definida en el dominio x>0, donde ln⁡ es el logaritmo neperiano.

a) Encuentre las coordenadas de un punto de la curva y=f(x) en el cual la recta tangente a la curva sea horizontal y analice si la función tiene un extremo relativo en este punto. [1 punto]
b) Determine si la función f(x) tiene alguna asíntota horizontal. [0,5 puntos]
c) Calcule el área de la región delimitada por la curva y=f(x) y las rectas x=1 y x=e. Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función en el dominio 0<x<5, en el que quede representada el área que ha calculado. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

a) Dada la matriz A=(001100010), resuelva la ecuación matricial A2X=A−3I, donde I es la matriz identidad. [1,25 puntos]
b) Una matriz cuadrada M satisface que M3−3M2+3M−I=0, donde I es la matriz identidad. Justifique que M es invertible y exprese la inversa de M en función de las matrices M e I. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Funciones

Considere la función f(x)=ex−1−x−1.

a) Estudie su continuidad, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]
b) Demuestre que la ecuación f(x)=0 tiene exactamente dos soluciones entre x=−1 y x=3. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

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