Examen de Matemáticas II de Cataluña 2026 (convocatoria ordinaria)

Considere la función definida a trozos siguiente:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}5e^{2x}& x\le 0\\ (x+m{)}^2+1& 0<x<2\\ 1& 2\le x\end{array}$

donde $m$ es un parámetro real.

a) Determine los valores de $m$ que hacen que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. Justifique la respuesta. [1 punto]
b) Haga un esbozo de la gráfica de $y=f(x)$ para el caso $m=-2$, y calcule el área delimitada por esta gráfica, el eje $OX$ y las rectas $x=-1$ y $x=3$. [1 punto]
c) Para $m=-2$, encuentre un punto donde la recta tangente a $y=f(x)$ sea paralela a $y=-2x$. Calcule la ecuación de esta recta tangente. [0,5 puntos]

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que está formado por tres planos en el espacio y depende del parámetro real $m$:

$\begin{array}{r}x+my+z=4\\ x+3y+z=5\\ mx+y+z=4\end{array}\}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $m$. [1 punto]
b) Interprete geométricamente este sistema para todos los valores del parámetro $m$ y resuélvalo, si es posible, para el caso $m=1$. [1 punto]
c) Para $m=1$, ¿es posible añadir una cuarta ecuación de manera que el sistema resultante sea compatible determinado y tenga como solución $(x,y,z)=(3,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$? Razone la respuesta. [0,5 puntos]

El Ayuntamiento de Canet de Mar ha conseguido 24 entradas gratuitas para un concierto de un grupo de rock catalán, y ha decidido sortearlas entre los vecinos interesados en asistir. Todos los vecinos del pueblo seguidores de este grupo se apuntan al sorteo, y solo al 16 % les toca una entrada. Del resto de seguidores del grupo, seis séptimas partes intentan comprar una entrada por la web, donde la probabilidad de conseguirla es del 25 %.

a) ¿Cuántas personas de este municipio tienen entrada para el concierto? [0,75 puntos]
b) Si escogemos al azar un vecino de Canet seguidor de este grupo de rock y no tiene entrada para el concierto, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera intentado conseguirla por la web? [0,75 puntos]
c) El día del concierto, el equipo de sonido mide el nivel de decibelios generado por los gritos entusiastas del público durante los 5 minutos de duración de la canción más famosa del grupo; se puede aproximar por la función siguiente:
$S(t)=-t^3+12t^2-30t+90,t\in [0,5],$
donde $t$ es el tiempo en minutos y $S(t)$ los decibelios. Cuando se superan los 100 decibelios se considera que el público está muy entregado y se activan automáticamente unos efectos lumínicos especiales. ¿Se activarán en algún momento durante estos cinco minutos? Si la respuesta es afirmativa, calcule en qué minuto se activan, aproximado a las décimas. [1 punto]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}$

El alcalde de un pueblo de Cataluña encarga al arquitecto municipal el diseño de un parque infantil que se construirá en un terreno público. Para cumplir la normativa vigente, en el parque debe haber dos espacios bien delimitados: uno para una boca de riego —el cual, según el arquitecto, debe tener forma circular— y otro para una caseta donde se guarden las herramientas de mantenimiento —el cual debe tener forma cuadrada. Por motivos estéticos, el arquitecto quiere delimitar cada uno de estos dos espacios con una barandilla de forja. Sabiendo que las dos barandillas miden exactamente 10 m de longitud en total, ¿qué medida debe tener la barandilla de cada espacio para que la suma de las superficies de los dos espacios sea la más pequeña posible? ¿Cuál es esta superficie mínima? [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}$

Considere los puntos del espacio $P=(1,0,-1)$, $Q=(3,-2,0)$ y $R=(1,1,1)$.

a) Calcule la ecuación del plano que contiene los puntos $P$, $Q$ y $R$. [0,75 puntos]
b) Compruebe que el área del triángulo $\mathrm{△}PQR$ es ${\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}{u}^2$. [0,75 puntos]
c) Determine las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un cuarto punto $S=(x,y,z)$ para que $P$, $Q$, $R$ y $S$ formen un tetraedro de volumen 1. El volumen del tetraedro formado por los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ es $\text{volumen}(PQRS)={\displaystyle \frac{\acute{\text{a}}\text{rea}(\mathrm{△}PQR)\cdot \text{altura}}{3}}$. [1 punto]