Examen de Matemáticas II de Cataluña 2020 (convocatoria extraordinaria)

Sean las funciones $f(x)=x^3$ y $g(x)=a\cdot x^2$, donde $a$ es un número real positivo.

a) Encuentre, en función del parámetro $a$, los puntos de corte entre las dos curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$ y haga un esbozo de la región limitada por las dos gráficas. [1,25 puntos]
b) Calcule el valor de $a$ para que el área comprendida entre $y=f(x)$ e $y=g(x)$ sea ${\displaystyle \frac{27}{4}}{u}^2$. [1,25 puntos]

Un avión se desplaza desde un punto $A=(0,3,1)$ hacia una plataforma plana de ecuación $\pi :x-2y+z=1$ siguiendo una recta $r$ paralela al vector $\vec{v}=(1,-1,0)$.

a) Calcule las coordenadas del punto de contacto $B$ del avión con el plano y la distancia recorrida. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la plataforma y que contiene la recta $r$ seguida por el avión desde el punto $A$. [1,25 puntos]

Sea $f(x)$ una función derivable cuya gráfica pasa por el punto $(0,1)$. La gráfica de su derivada, $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, es la que se muestra en la figura.



a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de la gráfica de abscisa $x=0$. [1,25 puntos]
b) Encuentre las abscisas de los puntos singulares de la función $f(x)$ y clasifíquelos. [1,25 puntos]

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}a& -3& 0\\ 4& a-7& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Estudie el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]
b) Compruebe que para $a=4$ la matriz $A$ es invertible y que se verifica que $A^{-1}=A^2$. [1,25 puntos]

Una empresa está trabajando en el diseño de unas cápsulas de café. La empresa ha construido la sección transversal de las cápsulas inscribiéndola en una semicircunferencia de radio 1, trazando a continuación una cuerda $CD$ paralela al diámetro $AB$ e incorporando el punto $E$ en el punto medio del arco $CD$. De esta manera queda trazado el pentágono $ACEDB$, tal como se muestra en la figura.



a) Exprese en función de $x$ y $h$ el área del pentágono $ACEDB$. [1,25 puntos]
b) ¿Cuál ha de ser la distancia (indicada en la figura por $h$) a la que se ha de situar la cuerda $CD$ de $AB$ para que el área del pentágono $ACEDB$ sea máxima? [1,25 puntos]

Sean las rectas $r$ y $s$, expresadas por ${\displaystyle \frac{x-3}{2}}=y=z-1$ y $(\mu ,-\mu ,\mu )$, respectivamente.

a) Determine la posición relativa de las rectas. [1,25 puntos]
b) Calcule la distancia entre la recta $r$ y la recta $s$. [1,25 puntos]