Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2020

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}a& -3& 0\\ 4& a-7& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Estudie el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]
b) Compruebe que para $a=4$ la matriz $A$ es invertible y que se verifica que $A^{-1}=A^2$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La matriz es cuadrada de orden 3, así que su rango es 3 salvo que el determinante se anule. Lo calculamos.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& -3& 0\\ 4& a-7& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\mid =-a(a-7)-3+0-(0-a+12)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-a^2+7a-3+a-12=-a^2+8a-15=-(a^2-8a+15)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(a-3)(a-5)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=3\\ a=5\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }3$ y $a\mathrm{\ne }5$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(A)=3$.

Si $a=3$ o $a=5$, el rango baja. Buscamos un menor de orden 2 no nulo, y hay uno que vale lo mismo sea cual sea $a$:

$\mid \begin{array}{cc}-3& 0\\ a-7& 1\end{array}\mid =-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 para todo $a\mathrm{\ne }3$ y $a\mathrm{\ne }5$, y es 2 para $a=3$ y para $a=5$.



Basta sustituir en el determinante del apartado anterior.

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& -3& 0\\ 4& -3& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(4-3)(4-5)=-(1)(-1)=1\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, $A$ es invertible.

Para probar la igualdad no hace falta calcular la inversa: basta comprobar que $A\cdot A^2=I$, es decir, que $A^3=I$, porque entonces $A^2$ cumple la definición de matriz inversa de $A$.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}4& -3& 0\\ 4& -3& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& -3& 0\\ 4& -3& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& -3& -3\\ 5& -4& -4\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

$A^3=A\cdot A^2=\left(\begin{array}{ccc}4& -3& 0\\ 4& -3& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& -3& -3\\ 5& -4& -4\\ -1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$

Como $A\cdot A^2=A^2\cdot A=I$, la matriz $A^2$ es la inversa de $A$.

$A^{-1}=A^2=\left(\begin{array}{ccc}4& -3& -3\\ 5& -4& -4\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

Para $a=4$ la matriz $A$ es invertible, con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$, y se verifica que $A^{-1}=A^2$, porque $A^3=I$.