Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Sean $A$ y $B$ dos matrices $3\times 3$ tales que $A$ es invertible y

$AB+A+I=2A,$

con $I$ la matriz identidad de dimensión $3\times 3$.

a) Calcule la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$. [1 punto]

b) Sean

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)\text{y}\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),$

calcule $\mathbf{x}$ tal que $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, donde $A$ cumple la igualdad $AB+A+I=2A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{I}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trata de despejar $A^{-1}$ de la igualdad matricial. Como el producto de matrices no es conmutativo, hay que cuidar por qué lado se multiplica en cada paso; aquí basta con agrupar y sacar $A$ como factor común por la izquierda.

$AB+A+I=2A$

$AB+I=2A-A=A$

$I=A-AB$

$I=A(I-B)$

Multiplicamos ahora por $A^{-1}$ por la izquierda, que existe porque el enunciado dice que $A$ es invertible:

$A^{-1}I=A^{-1}A(I-B)\Rightarrow A^{-1}=I-B$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=I-B$.



No hace falta calcular $A$: multiplicando la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ por $A^{-1}$ por la izquierda se obtiene la incógnita directamente a partir de la inversa, que ya conocemos por el apartado anterior.

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}\Rightarrow \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=(I-B)\mathbf{b}$

Calculamos la matriz $I-B$:

$I-B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ -1& 0& -1\\ 0& -3& 0\end{array}\right)$

Conviene comprobar que esta matriz es efectivamente invertible, pues es la inversa de $A$:

$\mathrm{\mid }I-B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ -1& 0& -1\\ 0& -3& 0\end{array}\mid =-9\mathrm{\ne }0$

Y ya solo queda multiplicarla por el término independiente:

$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -2\\ -1& 0& -1\\ 0& -3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$

La solución del sistema es $\mathbf{x}=(-1,0,-3{)}^t$.