Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sean $A$ y $B$ dos matrices $3\times 3$ tales que $A$ es invertible. Sea $I$ la matriz identidad de dimensión $3\times 3$.

a) Sabiendo que $AB+I=A$, calcule la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$. [1 punto]

b) Sabiendo que $A$ y su inversa $A^{-1}$ son tales que

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right),A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& -1& 1\\ -3& -1& 1\end{array}\right),$

calcule la matriz $B$ que satisface la igualdad $AB+I=A$. ¿Es $B$ invertible? Justifique la respuesta. [1,5 puntos]

Se despeja $A^{-1}$ de la igualdad matricial sacando $A$ como factor común por la izquierda, que es el lado por el que multiplica en los dos términos donde aparece.

$AB+I=A$

$I=A-AB$

$I=A(I-B)$

Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda, que existe porque el enunciado dice que $A$ es invertible:

$A^{-1}I=A^{-1}A(I-B)\Rightarrow A^{-1}=I-B$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=I-B$.



Del apartado anterior sabemos que $A^{-1}=I-B$, de donde se despeja $B$ sin necesidad de resolver ninguna ecuación matricial nueva.

$A^{-1}=I-B\Rightarrow B=I-A^{-1}$

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& -1& 1\\ -3& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Para decidir si es invertible calculamos su determinante, ya que una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si este no se anula.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\mid =0+{\displaystyle \frac{3}{4}}+0-0-0+{\displaystyle \frac{1}{4}}=1$

La matriz que satisface la igualdad es la $B$ obtenida y, como $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=1\mathrm{\ne }0$, sí es invertible.