Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Sea $A$ una matriz invertible $n\times n$ con coeficientes reales tal que cumple la igualdad $A^2+A=I$. Entonces:

a) ¿Satisface la matriz

$M=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& -1\end{array}\right)$

las condiciones del enunciado? Es decir, ¿cumple $M$ la igualdad del enunciado y, además, es invertible? [3 puntos]

Volviendo a considerar que $A$ es una matriz cualquiera que satisface las condiciones del enunciado:

b) Calcule la inversa de $A$. [3 puntos]

c) Compruebe que se satisface la igualdad $A(B+A)-I=A(B-I)$, siendo $B$ una matriz cuadrada cualquiera $n\times n$ con coeficientes reales. [4 puntos]

Hay que comprobar dos cosas por separado: que se verifica la igualdad y que el determinante no se anula.

$M^2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

$M^2+M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& -1\\ -1& -1\end{array}\mid =0-1=-1\mathrm{\ne }0$

Sí, la matriz $M$ cumple las dos condiciones: verifica $M^2+M=I$ y es invertible, porque su determinante vale $-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Reescribimos la igualdad de forma que aparezca un producto de $A$ por otra matriz igual a la identidad, que es lo que define la inversa.

$A^2+A=I$

$A(A+I)=I$

Multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda:

$A^{-1}A(A+I)=A^{-1}I\Rightarrow A^{-1}=A+I$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=A+I$. Nótese que la propia igualdad ya demostraba que $A$ es invertible, sin necesidad de suponerlo.



Desarrollamos el primer miembro usando la propiedad distributiva y sustituimos $A^2$ por lo que vale según el enunciado.

$A(B+A)-I=AB+A^2-I$

$A^2+A=I\Rightarrow A^2=I-A$

$AB+A^2-I=AB+(I-A)-I=AB-A$

Sacando $A$ como factor común por la izquierda:

$AB-A=AB-AI=A(B-I)$

Queda demostrado que $A(B+A)-I=A(B-I)$ para cualquier matriz cuadrada $B$ del mismo orden, sin necesidad de que $B$ cumpla ninguna condición adicional.