Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dada la ecuación matricial

$M\cdot X+N=P,$

donde $X$ es la matriz incógnita y

$M=\left(\begin{array}{cc}-1& a\\ a& a\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 4\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 3& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) ¿Para qué valores del parámetro $a$ existe la matriz inversa de $M$? [1 punto]

b) Calcule la matriz inversa de $M$. [3 puntos]

c) Para $a=2$, resuelva la ecuación matricial, si es posible. [3 puntos]

d) Para los valores de $a$ para los cuales existe la matriz inversa de $M$, resuelva la ecuación matricial. [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{M}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& a\\ a& a\end{array}\mid =-a-a^2=-a(1+a)$

$-a(1+a)=0\Rightarrow a=0\text{ o }a=-1$

Existe la matriz inversa de $M$ para todo valor real de $a$ distinto de $0$ y de $-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{M}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una matriz de orden dos la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-a(1+a)}}\left(\begin{array}{cc}a& -a\\ -a& -1\end{array}\right)$

$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{-1}{1+a}}& {\displaystyle \frac{1}{1+a}}\\ {\displaystyle \frac{1}{1+a}}& {\displaystyle \frac{1}{a(1+a)}}\end{array}\right),a\mathrm{\ne }0,a\mathrm{\ne }-1$



Con $a=2$ el determinante vale $-6\mathrm{\ne }0$, de modo que sí es posible. Despejamos la incógnita multiplicando por $M^{-1}$ por la izquierda.

$M\cdot X=P-N$

$P-N=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 3& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$

$X=M^{-1}(P-N)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{6}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{M}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matricial.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Repetimos el cálculo anterior dejando el parámetro sin sustituir.

$X=M^{-1}(P-N)={\displaystyle \frac{1}{-a(1+a)}}\left(\begin{array}{cc}a& -a\\ -a& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$

$={\displaystyle \frac{1}{-a(1+a)}}\left(\begin{array}{cc}2a& 2a\\ -2a& -2a\end{array}\right)={\displaystyle \frac{2a}{-a(1+a)}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{-2}{1+a}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{-2}{1+a}}& {\displaystyle \frac{-2}{1+a}}\\ {\displaystyle \frac{2}{1+a}}& {\displaystyle \frac{2}{1+a}}\end{array}\right)$

Para $a=2$ se recupera la solución del apartado anterior, lo que sirve de comprobación.