Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& k& 1\\ -4& 4& k\end{array}\right)$, con $k\in \mathbb{R}$.

a) Estudie el rango de $A$ según los valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]

b) Para $k=-1$, compruebe que $A^2=2A-I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 3. Además, utilizando la igualdad anterior, verifique, sin calcular la potencia, que $A^4=4A-3I$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El rango de una matriz cuadrada de orden 3 vale 3 exactamente cuando su determinante no se anula, así que empezamos calculando $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ en función de $k$ por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& k& 1\\ -4& 4& k\end{array}\mid =5k^2+16+16-(-8k+20-8k)=5k^2+16k+12$

$5k^2+16k+12=0\Rightarrow k={\displaystyle \frac{-16\pm \sqrt{256-240}}{10}}={\displaystyle \frac{-16\pm 4}{10}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=-{\displaystyle \frac{6}{5}}\\ k=-2\end{array}$

Si $k\mathrm{\ne }-2$ y $k\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{6}{5}}$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(A)=3$.

Si $k=-2$, el determinante se anula y hay que buscar un menor de orden 2 no nulo.

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -2& 1\\ -4& 4& -2\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}5& -4\\ 2& -2\end{array}\mid =-10+8=-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Si $k=-{\displaystyle \frac{6}{5}}$, se procede igual.

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -{\displaystyle \frac{6}{5}}& 1\\ -4& 4& -{\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}5& -4\\ 2& -{\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}\mid =-6+8=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Finalmente, el rango de $A$ es 2 para $k=-2$ y para $k=-{\displaystyle \frac{6}{5}}$, y es 3 para cualquier otro valor del parámetro.



Para la primera igualdad basta calcular por separado los dos miembros y comparar.

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -1& 1\\ -4& 4& -1\end{array}\right)$

$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -1& 1\\ -4& 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& -1& 1\\ -4& 4& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& -8& 4\\ 4& -3& 2\\ -8& 8& -3\end{array}\right)$

$2A-I=\left(\begin{array}{ccc}10& -8& 4\\ 4& -2& 2\\ -8& 8& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& -8& 4\\ 4& -3& 2\\ -8& 8& -3\end{array}\right)$

Las dos matrices coinciden término a término, luego $A^2=2A-I$.

Para la segunda igualdad no hace falta multiplicar ninguna matriz: se escribe $A^4$ como el cuadrado de $A^2$ y se sustituye cada $A^2$ por $2A-I$. Al desarrollar el cuadrado se usa que la identidad conmuta con cualquier matriz, $AI=IA=A$.

$A^4={\left(A^2\right)}^2=(2A-I{)}^2=4A^2-4A+I$

$=4(2A-I)-4A+I=8A-4I-4A+I=4A-3I$

Queda comprobado que $A^4=4A-3I$ sin necesidad de calcular la cuarta potencia.