Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Resuelva la ecuación matricial $AX+B^t=A^2$, siendo:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

Se despeja $X$ en la ecuación matricial antes de operar con números. La matriz $X$ está multiplicada por $A$ por la izquierda, así que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por ese mismo lado, y para ello lo primero es comprobar que $A$ es invertible.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

desarrollando por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo. Existe, pues, $A^{-1}$.

$AX+B^t=A^2\Rightarrow AX=A^2-B^t$

$A^{-1}AX=A^{-1}(A^2-B^t)\Rightarrow X=A^{-1}(A^2-B^t)$

Calculamos por separado las tres matrices que intervienen.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(A^t\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 2\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$

$A^2-B^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 2\\ 1& 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 1& 2& -1\\ -1& 0& -2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 1& 2& -1\\ -1& 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& -1& 4\\ -1& 0& -2\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$AX=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 1& 2& -1\\ -1& 0& -2\end{array}\right)=A^2-B^t$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 1& -1& 4\\ -1& 0& -2\end{array}\right)$.