Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 1\\ 0& k-1& k-1\\ k& 1& k-3\end{array}\right)$

a) Halle los valores del parámetro $k$ para los que la matriz $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Tomando el valor $k=-1$ en la matriz $A$, calcule la matriz $X$ que verifica que $A\cdot X=24\cdot I_3$, siendo $I_3$ la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que basta calcular $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ y ver dónde vale cero.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}k& 0& 1\\ 0& k-1& k-1\\ k& 1& k-3\end{array}\mid =k(k-1)(k-3)+0+0-[k(k-1)+k(k-1)+0]$

$=k(k-1)(k-3)-2k(k-1)=k(k-1)[(k-3)-2]=k(k-1)(k-5)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=0\\ k=1\\ k=5\end{array}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor de $k$ distinto de 0, de 1 y de 5.



Como $-1$ no es ninguno de los tres valores anteriores, la matriz es invertible y se puede despejar multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -2& -2\\ -1& 1& -4\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-1)(-2)(-6)=-12$

$A\cdot X=24I_3\Rightarrow X=24A^{-1}$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(A^t\right)={\displaystyle \frac{1}{-12}}\left(\begin{array}{ccc}10& 1& 2\\ 2& 5& -2\\ -2& 1& 2\end{array}\right)$

Al multiplicar por 24 el factor numérico se simplifica y no hacen falta fracciones:

$X=24\cdot {\displaystyle \frac{1}{-12}}\left(\begin{array}{ccc}10& 1& 2\\ 2& 5& -2\\ -2& 1& 2\end{array}\right)=-2\left(\begin{array}{ccc}10& 1& 2\\ 2& 5& -2\\ -2& 1& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-20& -2& -4\\ -4& -10& 4\\ 4& -2& -4\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}24& 0& 0\\ 0& 24& 0\\ 0& 0& 24\end{array}\right)=24I_3$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}-20& -2& -4\\ -4& -10& 4\\ 4& -2& -4\end{array}\right)$.