Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& -1\end{array}\right)$.

a) Calcule la inversa de la matriz $A+A^t$, donde $A^t$ es la traspuesta de $A$. [1 punto]

b) Encuentre la matriz $X$ que verifica $XA+X{A}^t=C$. [1 punto]

Escribimos la traspuesta de $A$ cambiando filas por columnas y sumamos las dos matrices.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& -1\\ 0& 2& 0\end{array}\right)\Rightarrow A+A^t=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que lo calculamos por la regla de Sarrus:

$\mid A+A^t\mid =0+1+1-2-2+0=-2\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa y la obtenemos con la matriz adjunta. La suma $A+A^t$ es simétrica, luego coincide con su traspuesta:

$\mathrm{Adj}\left({(A+A^t)}^t\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& -1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)$

${(A+A^t)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& -1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -3\end{array}\right)$



Sacamos factor común $X$ por la izquierda, que es donde aparece en los dos sumandos, y despejamos multiplicando por la inversa del apartado anterior.

$XA+X{A}^t=C\Rightarrow X(A+A^t)=C$

$X(A+A^t){(A+A^t)}^{-1}=C{(A+A^t)}^{-1}\Rightarrow X=C{(A+A^t)}^{-1}$

Como $C$ es de orden $2\times 3$ y la inversa de orden $3\times 3$, el producto está definido y $X$ resulta de orden $2\times 3$:

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& -1\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 4\\ 4& 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 3& 0& -1\end{array}\right)=C$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$.