Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Estudie el rango de la matriz $A-\lambda \cdot I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 0& 1\\ -1& 0& 3\end{array}\right)$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3. [2 puntos]

Formamos la matriz $A-\lambda I$ y calculamos su determinante: el rango será tres siempre que ese determinante no se anule, y los valores que lo anulan se estudian aparte.

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 0& 2\\ 1& -\lambda & 1\\ -1& 0& 3-\lambda \end{array}\right)$

La segunda columna solo tiene un elemento no nulo, así que desarrollamos por ella:

$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=-\lambda \mid \begin{array}{cc}-\lambda & 2\\ -1& 3-\lambda \end{array}\mid =-\lambda (-3\lambda +{\lambda }^2+2)=-\lambda ({\lambda }^2-3\lambda +2)$

$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=-\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =0\\ \lambda =1\\ \lambda =2\end{array}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }0,1,2$, el determinante no se anula y $\mathrm{ran}(A-\lambda I)=3$.

Para $\lambda =0$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 0& 1\\ -1& 0& 3\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}=2$

Para $\lambda =1$:

$A-I=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 1& -1& 1\\ -1& 0& 2\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& -1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}=2$

Para $\lambda =2$:

$A-2I=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 1& -2& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& -2\end{array}\mid =4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}=2$

En los tres casos el determinante es nulo pero hay un menor de orden dos que no lo es, luego el rango vale exactamente dos.

En resumen, el rango de $A-\lambda I$ es $3$ para todo $\lambda$ real distinto de $0$, $1$ y $2$, y es $2$ para esos tres valores.