Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$.

a) Estudie el rango de la matriz $A-\lambda I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $2\times 2$. [1,5 puntos]

b) Para $\lambda =2$ solucione el sistema $AX=\lambda X$, donde $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. [0,5 puntos]

Formamos la matriz y calculamos su determinante: el rango será dos siempre que no se anule, y los valores que lo anulan se estudian aparte.

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\lambda & 2\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=-\lambda (1-\lambda )-2={\lambda }^2-\lambda -2=(\lambda -2)(\lambda +1)$

$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =2\\ \lambda =-1\end{array}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }2$ y $\lambda \mathrm{\ne }-1$, el determinante no se anula y $\mathrm{ran}(A-\lambda I)=2$.

Para $\lambda =2$:

$A-2I=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$

La primera fila es $-2$ veces la segunda, luego solo hay una fila linealmente independiente y $\mathrm{ran}=1$.

Para $\lambda =-1$:

$A+I=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$

Las dos filas son iguales, luego también $\mathrm{ran}=1$.

El rango es $2$ para todo $\lambda$ real distinto de $2$ y de $-1$, y es $1$ para esos dos valores.



Pasamos todo a un miembro para que quede un sistema homogéneo cuya matriz es justo la del apartado anterior.

$AX=2X\Rightarrow AX-2X=0\Rightarrow (A-2I)X=0$

$\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ x-y=0\end{array}$

Las dos ecuaciones son la misma, como corresponde a una matriz de rango uno, así que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$x=y\Rightarrow y=t\Rightarrow x=t$

Las soluciones son todos los pares de la forma $(x,y)=(t,t)$, con $t$ recorriendo los números reales; es decir, los puntos de la recta $y=x$.