Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1\mathrm{/}8& 1\mathrm{/}8\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

a) Calcule $A^{2024}$. [1 punto]

b) Halle la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^{2}XA+I=O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente. [1,5 puntos]

Conviene separar la matriz en la identidad más una matriz de ceros salvo la primera fila, porque esa segunda parte se anula al elevarla al cuadrado y las potencias se calculan de golpe.

$A=I+N,N=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=O$

Como $I$ y $N$ conmutan y todas las potencias de $N$ a partir de la segunda son nulas, el desarrollo del binomio se reduce a dos sumandos:

$A^n=(I+N{)}^n=I+nN$

$A^{2024}=I+2024N=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{2024}{8}& \frac{2024}{8}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$A^{2024}=\left(\begin{array}{ccc}1& 253& 253\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$



Despejar $X$ exige multiplicar por matrices inversas, así que comprobamos antes que $A$ es regular:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{existe }{A}^{-1}$

Pasamos $I$ al otro miembro y multiplicamos por la izquierda por $A^{-2}$ y por la derecha por $A^{-1}$:

$A^{2}XA=-I\Rightarrow X=A^{-2}(-I)A^{-1}=-A^{-3}$

Con la descomposición del apartado anterior, la inversa se obtiene sin más que cambiar el signo de $N$, pues $(I+nN)(I-nN)=I-n^2{N}^2=I$:

$A^3=I+3N\Rightarrow A^{-3}=I-3N$

$X=-(I-3N)=-I+3N=\left(\begin{array}{ccc}-1& \frac{3}{8}& \frac{3}{8}\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$A^{2}XA=(I+2N)(-I+3N)(I+N)=(-I+N)(I+N)=-I+N^2=-I$

La matriz pedida existe y es $X=\left(\begin{array}{ccc}-1& \frac{3}{8}& \frac{3}{8}\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$.