Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ e $I$ la matriz identidad de orden 3.

a) Halle los valores de $m$ para que la matriz $A-mI$ no tenga inversa. [1 punto]

b) Halle $x$, distinto de cero, para que $A-xI$ sea la inversa de la matriz ${\displaystyle \frac{1}{x}}(A-I)$. [1,5 puntos]

Una matriz cuadrada carece de inversa exactamente cuando su determinante se anula, así que escribimos la matriz y calculamos su determinante en función de $m$.

$A-mI=\left(\begin{array}{ccc}1-m& 1& 1\\ 1& 1-m& 1\\ 1& 1& 1-m\end{array}\right)$

Sumamos a la primera fila las otras dos, con lo que aparece el factor común $3-m$:

$\mathrm{\mid }A-mI\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3-m& 3-m& 3-m\\ 1& 1-m& 1\\ 1& 1& 1-m\end{array}\mid =(3-m)\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1-m& 1\\ 1& 1& 1-m\end{array}\mid$

Restando la primera fila a las otras dos, el determinante queda triangular:

$=(3-m)\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -m& 0\\ 0& 0& -m\end{array}\mid =(3-m)m^2$

$(3-m)m^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=3\\ m=0\end{array}$

La matriz $A-mI$ no tiene inversa para $m=0$ y para $m=3$.



Que una matriz sea la inversa de otra significa que su producto es la identidad. Planteamos esa condición y la simplificamos usando que $A$ cumple una relación muy sencilla al elevarla al cuadrado.

$(A-xI)\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}(A-I)=I$

Multiplicamos ambos miembros por $x$, que no es nulo, y desarrollamos el producto:

$(A-xI)(A-I)=xI$

$A^2-A-xA+xI=xI\Rightarrow A^2-A-xA=O$

Como todas las entradas de $A$ valen $1$, cada elemento de $A^2$ es la suma de tres unos:

$A^2=3A$

$3A-A-xA=O\Rightarrow (2-x)A=O$

La matriz $A$ no es la matriz nula, luego el escalar ha de anularse:

$2-x=0\Rightarrow x=2$

Comprobamos el resultado sustituyendo:

$(A-2I)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(A-I)={\displaystyle \frac{1}{2}}(A^2-3A+2I)={\displaystyle \frac{1}{2}}(3A-3A+2I)=I$

El valor pedido es $x=2$.