Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& m+2\\ 0& 1& m+1\\ m& 0& 5\end{array}\right)$.

a) Estudie el rango de $A$ según los valores de $m$. [1,5 puntos]

b) Para $m=2$, calcule la inversa de $2020A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al ser $A$ de orden 3, su rango es 3 exactamente cuando el determinante no se anula, así que empezamos calculándolo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& m+2\\ 0& 1& m+1\\ m& 0& 5\end{array}\mid =5+(-m^2-m)+(m+2)(-m)$

$=5-m^2-m-m^2-2m=-2m^2-3m+5$

$-(2m+5)(m-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=1\\ m=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$

Para los demás valores el determinante no se anula y el rango es máximo. Queda ver qué ocurre en los dos casos particulares; en ambos basta un menor de orden 2 no nulo, y el mismo sirve para los dos:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

El rango de $A$ es $3$ si $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, y es $2$ si $m=1$ o $m=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.



Para $m=2$ el rango es máximo por el apartado anterior, luego la matriz es invertible. Conviene recordar que al multiplicar una matriz por un número, la inversa se divide por él:

${\left(2020A\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2020}}{A}^{-1}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 4\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 5\end{array}\right);\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(2\cdot 2+5)(2-1)=-9$

Calculamos la inversa como la traspuesta de la matriz de cofactores dividida por el determinante:

$A^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -7\\ 6& -3& -3\\ -2& -2& 1\end{array}\right)$

${\left(2020A\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2020}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{9}})\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -7\\ 6& -3& -3\\ -2& -2& 1\end{array}\right)$

${\left(2020A\right)}^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{18180}}\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -7\\ 6& -3& -3\\ -2& -2& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado: al multiplicar $2020A$ por esta matriz se obtiene la identidad.