Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Sean las matrices $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 0\end{array}\right)$, con $a,b,c\in \mathbb{R}$, $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\end{array}\right)$.

a) [1,5 puntos] Determine las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$.

b) [1 punto] Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?

No podemos despejar $X=A^{-1}B$ porque $A$ no es regular:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\end{array}\mid =4-4=0$

Efectuamos entonces el producto y comparamos las matrices entrada a entrada.

$A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a+c& 2b\\ 4a+2c& 4b\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}2a+c& 2b\\ 4a+2c& 4b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}2a+c=1\\ 2b=0\\ 4a+2c=2\\ 4b=0\end{array}$

La tercera ecuación es la primera multiplicada por dos y la cuarta es la segunda multiplicada por dos, de modo que solo quedan dos condiciones independientes.

$b=0,c=1-2a,a\in \mathbb{R}\text{ libre}$

Las condiciones son $b=0$ y $c=1-2a$, con $a$ arbitrario. Hay, por tanto, infinitas matrices que cumplen la igualdad, todas de la forma

$X=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1-2a& 0\end{array}\right),a\in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{que}}\mathit{X}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trica,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{cumplir?}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{resultante?}}$

Una matriz es simétrica cuando coincide con su traspuesta, lo que para $X$ significa que sus dos elementos fuera de la diagonal sean iguales.

$X=X^t\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& 0\end{array}\right)\Rightarrow b=c$

Añadimos esa condición a las del apartado anterior. Como allí obtuvimos $b=0$, se sigue $c=0$, y llevándolo a $c=1-2a$:

$0=1-2a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Se debe cumplir $b=c$, y con ello la solución deja de ser infinita: solo hay una matriz simétrica que cumpla lo pedido,

$X=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$