Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Encuentre el área encerrada por la recta $x=-1$ y las gráficas de las funciones $f(x)=x^2-2x+3$ y $g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1$.

b) [1,5 puntos] Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& a\\ -1& 0& 0\\ -1& a+1& a+1\end{array}\right)$ con $a\in \mathbb{R}$. Estudie el rango de $A$ en función de los valores de $a$.

Buscamos primero los puntos de corte de las dos parábolas, que son los que cierran el recinto por la derecha.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x^2-2x+3={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+2=0$

$x^2-4x+4=0\Rightarrow (x-2{)}^2=0\Rightarrow x=2\text{ (doble)}$

Las dos curvas se tocan en un único punto, $x=2$, de modo que por sí solas no encierran ningún recinto: es la recta $x=-1$ la que lo cierra por la izquierda.

Averiguamos cuál va por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$:

$f(0)=3>g(0)=1$



El área es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo, entre $-1$ y $2$.

$A={\int }_{-1}^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_{-1}^2({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+2)dx$

$A={[{\displaystyle \frac{x^3}{6}}-x^2+2x]}_{-1}^2=({\displaystyle \frac{8}{6}}-4+4)-(-{\displaystyle \frac{1}{6}}-1-2)$

$A={\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+3={\displaystyle \frac{8+1+18}{6}}={\displaystyle \frac{27}{6}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

El área encerrada es ${\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$ unidades cuadradas.



La matriz es cuadrada de orden $3$, así que su rango es $3$ salvo que el determinante se anule. Lo desarrollamos por la segunda fila, que es la que más ceros tiene.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& a\\ -1& 0& 0\\ -1& a+1& a+1\end{array}\mid =-(-1)\mid \begin{array}{cc}1& a\\ a+1& a+1\end{array}\mid =(a+1)-a(a+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(a+1)(1-a)$

$(a+1)(1-a)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-1\\ a=1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }-1$ y $a\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(A)=3$.

Si $a=1$, la matriz queda

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ -1& 0& 0\\ -1& 2& 2\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =0+1=1\mathrm{\ne }0$

luego $\mathrm{ran}(A)=2$.

Si $a=-1$, la matriz queda

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ -1& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

y de nuevo $\mathrm{ran}(A)=2$; aquí se ve además a simple vista, porque las filas segunda y tercera son iguales.

El rango de $A$ es $3$ para $a\mathrm{\ne }\pm 1$ y $2$ para $a=1$ y para $a=-1$.