Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Sean las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)eI=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX+3I=A$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos por él.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =0+0+2-0-3-1=-2\mathrm{\ne }0$

La matriz es regular. Aplicamos la fórmula de la inversa a partir de la adjunta de la traspuesta.

$A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}(A^{\mathrm{\top }})=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -1& 3& -1\\ 1& -3& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^{\mathrm{\top }})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -1& 3& -1\\ 1& -3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando, por ejemplo, la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$: $3\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot (-\frac{1}{2})=1$.



Despejamos $X$ teniendo en cuenta que aparece multiplicada por la izquierda, de modo que hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

$AX+3I=A\Rightarrow AX=A-3I\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}(A-3I)\Rightarrow X=A^{-1}(A-3I)$

Distribuyendo el producto, la expresión se simplifica:

$X=A^{-1}A-3A^{-1}=I-3A^{-1}$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2}& \frac{11}{2}& -\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}& -\frac{9}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 3\\ -3& 11& -3\\ 3& -9& -1\end{array}\right)$.