Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2021 (convocatoria extraordinaria)

Sean las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)eI=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

a) [1 punto] Calcule razonadamente la matriz inversa de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX+3I=A$.

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+ay+z=2\\ x\phantom{+ay}+z=a\\ ax+2y+z=3\end{array}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=2$, si es posible.

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: ${\displaystyle \int x\cdot \cos (3x)dx}$.

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{2x^2+1}}}$.

Sean los planos ${\pi }_1\equiv a\cdot x+y+2\cdot z=3$ y ${\pi }_2\equiv 2\cdot x-y+a\cdot z=0$.

a) [1 punto] Determine razonadamente el valor de $a$ para que los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ sean perpendiculares.

b) [1,5 puntos] Para $a=1$ calcule la distancia del punto $P(2,0,1)$ al plano ${\pi }_1$.

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x-1}{e^{x-1}-1}}$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{1}{x-1}}& \text{si }0\le x\le 2\\ x& \text{si }x>2\end{array}$

estudie su continuidad en $x=0$ y en $x=2$ e indique el tipo de discontinuidad, si la hubiera.

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+2x-2}{3x^2+3}}$.

a) [1,5 puntos] Halle razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifíquelos.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.

a) [1 punto] Sea la función $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+x-1$, con $a,b\in \mathbb{R}$. Determine los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1,1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.

b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x)=x\mathrm{sen}(x)-\cos (x)$. Enuncie el teorema de Rolle y úselo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1,1]$.

a) En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20 % de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60 % de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90 % de pacientes leves y un 10 % de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?

b) En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?