Examen de Matemáticas II de Castilla-La Mancha 2021 (convocatoria ordinaria)

Sean las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)yB=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

a) [1 punto] Calcule razonadamente el determinante de $A^{\mathrm{\top }}$, es decir, la matriz traspuesta de $A$.

b) [1,5 puntos] Calcule razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $X\cdot A+3\cdot A=B$.

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=a+1\\ a\cdot x\phantom{+y}+z=a-1\\ x-y+z=3\end{array}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=0$, si es posible.

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{3+e^x}}dx}$. (Cambio de variable sugerido: $e^x=t$.)

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la siguiente integral: ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-x+1}{x^2+3}}dx}$.

a) [1,25 puntos] Sea el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$. Calcule razonadamente la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

b) [1,25 puntos] Sean las rectas $s\equiv \{\begin{array}{l}x=0+2\lambda \\ y=1-2\cdot a\cdot \lambda \\ z=0+2\lambda \end{array}$ y $t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{a}}={\displaystyle \frac{y+1}{-1}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$. Calcule razonadamente el valor de $a\in \mathbb{R}$ para que las dos rectas sean paralelas.

Sean los puntos $A(0,0,1)$, $B(2,1,0)$, $C(1,1,1)$ y $D(1,1,2)$.

a) [1,25 puntos] Calcule razonadamente el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$.

b) [1,25 puntos] Calcule razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto $D$.

a) [1 punto] Sea la función $f(x)=a{x}^3-2x^2-x+b$ con $a,b\in \mathbb{R}$. Determine razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de la función pase por el punto $(1,2)$ y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-ax+1& x<0\\ b{e}^x& x\ge 0\end{array}$, con $a,b\in \mathbb{R}$. Determine razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x=0$.

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{e^{x-2}-1}{2x-4}}$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2& \text{si }x<1\\ {\displaystyle \frac{2x-1}{x-2}}& \text{si }1\le x\le 3\\ 2e^x& \text{si }x>3\end{array}$

determine razonadamente su dominio y estudie su continuidad. En los puntos en los que no lo sea indique razonadamente el tipo de discontinuidad.

a) Se sabe que el 20 % de los usuarios de una red social nunca comparte fotografías, mientras que el otro 80 % sí que lo hace. Además, de los usuarios que no comparten fotografías, el 50 % ha comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos. De los usuarios que comparten fotografías, se sabe que el 90 % ha comentado alguna vez una fotografía de sus contactos. Elegimos un usuario de esta red social al azar.

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que haya comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que nunca ha comentado una fotografía de alguno de sus contactos, ¿cuál es la probabilidad de que comparta fotos?

b) Un algoritmo de reconocimiento facial es capaz de identificar de manera correcta al 80 % de las personas a partir de sus fotografías. Se procesan las fotografías de 4 personas con este algoritmo.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que identifique correctamente a las 4 personas de las fotografías?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente al menos a una persona?