Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) [1,75 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=a+1\\ a\cdot x\phantom{+y}+z=a-1\\ x-y+z=3\end{array}$

b) [0,75 puntos] Resuelva razonadamente el sistema anterior para $a=0$, si es posible.

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y discutimos comparando sus rangos con el número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& 0& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& a+1\\ a& 0& 1& a-1\\ 1& -1& 1& 3\end{array}\right)$

Anulamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& 0& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =0+1-a-0+1-a=2-2a$

$2-2a=0\Rightarrow a=1$

Si $a\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

luego el sistema es compatible determinado, con solución única.

Si $a=1$, la matriz ampliada queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& -1& 1& 3\end{array}\right)$

El menor $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, de modo que $\mathrm{ran}(A)=2$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& -1& 3\end{array}\mid =0+0-2-0+0-3=-5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

Como $\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })$, el sistema es incompatible y no tiene solución.

En resumen: el sistema es compatible determinado para $a\mathrm{\ne }1$ e incompatible para $a=1$.



Como $0\mathrm{\ne }1$, sí es posible: el sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ z=-1\\ x-y+z=3\end{array},\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2-2\cdot 0=2$

La segunda ecuación da directamente $z=-1$. Lo sustituimos en las otras dos:

$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=4\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones, $2x=6\Rightarrow x=3$, y restándolas, $2y=-2\Rightarrow y=-1$.

La solución del sistema para $a=0$ es $x=3$, $y=-1$, $z=-1$.