Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\{\begin{array}{rcrcrcl}-x& & & +& mz& =& 0\\ & & my& +& 2z& =& 2+m^2\\ x& +& y& & & =& 2m\end{array}$

a) Discuta según los valores de $m\in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1,2 puntos]

b) Resuelva el sistema para el valor $m=2$. [0,8 puntos]

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando sus rangos con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& m\\ 0& m& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right);A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& m& 0\\ 0& m& 2& 2+m^2\\ 1& 1& 0& 2m\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& 0& m\\ 0& m& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =0+0+0-m^2-(-2)-0=2-m^2$

$2-m^2=0\Rightarrow m=\pm \sqrt{2}$

$\text{Si }m\mathrm{\ne }\pm \sqrt{2}:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

En ese caso el sistema es compatible determinado.

Para $m=\pm \sqrt{2}$ el determinante se anula, pero el menor formado por las dos primeras filas y columnas no:

$\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& m\end{array}\mid =-m\mathrm{\ne }0\text{(porque }m=\pm \sqrt{2}\mathrm{\ne }0)\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Por el teorema del menor orlado, para saber el rango de $A^{\ast }$ basta orlar ese menor con la fila que falta y con cada una de las dos columnas restantes. Con la tercera columna sale $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$, que ya sabemos que es nulo; con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& m& 2+m^2\\ 1& 1& 2m\end{array}\mid =-1[2m^2-(2+m^2)]=-(m^2-2)=2-m^2$

Los dos orlados coinciden con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$, de modo que se anulan a la vez:

$m=\pm \sqrt{2}:\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

En ese caso el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

El sistema es, pues, compatible determinado si $m\mathrm{\ne }\pm \sqrt{2}$ y compatible indeterminado si $m=\sqrt{2}$ o $m=-\sqrt{2}$. No es incompatible para ningún valor del parámetro.



Para $m=2$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2-4=-2\mathrm{\ne }0$, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}-x+2z=0\\ 2y+2z=6\\ x+y=4\end{array}$

Despejamos $x$ de la primera ecuación e $y$ de la segunda, y llevamos ambas a la tercera:

$x=2z;y=3-z$

$2z+3-z=4\Rightarrow z=1$

$x=2\cdot 1=2;y=3-1=2$

Comprobamos la solución en las tres ecuaciones de partida:

$-2+2\cdot 1=0;2\cdot 2+2\cdot 1=6=2+2^2;2+2=4=2\cdot 2$

La solución única del sistema para $m=2$ es $(x,y,z)=(2,2,1)$.