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Examen de Matemáticas II de Aragón 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Aragón, convocatoria ordinaria de 2023. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Sea la siguiente función

f (x) = {\begin{cases} a x - \frac{sen x}{x} + 2, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases} a \in R

a) Estudie su continuidad en

R

según los valores de

a

. [1 punto]

b) Calcule el valor de

a

para que

f (x)

tenga un extremo relativo en

x = - \frac{π}{2}

y diga de qué tipo de extremo se trata. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Calcule el siguiente límite

\lim_{x \to + \infty} {[\frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} + 3 x + 1}]}^{\ln x}

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones

f (x) = - x^{2} + 4 x

y la recta de pendiente

\frac{1}{2}

que corta a

f (x)

x = \frac{7}{2}

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Límites y continuidad

Dada la siguiente función

f (x) = \frac{2 x - 1}{\sqrt{x^{2} - x - 2}}

a) Estudie y escriba su dominio de definición. [0,75 puntos]

b) Estudie la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determine las asíntotas caso de existir. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sean las siguientes matrices:

A = (\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ - 2 & 0 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}), D = A \cdot B^{T} - 2 I

donde

B^{T}

es la matriz traspuesta de

B

, e

I

es la matriz identidad de orden 3.

a) Estudie si la matriz

D

tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlela. [1 punto]

b) Resuelva la ecuación matricial

C X = A^{T} \cdot B

, donde

A^{T}

es la matriz traspuesta de

A

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Sistemas de ecuaciones

Dado el siguiente sistema:

{\begin{array}{rcrcrcl} - x & + & m z & = & 0 \\ m y & + & 2 z & = & 2 + m^{2} \\ x & + & y & = & 2 m \end{array}

a) Discuta según los valores de

m \in R

qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1,2 puntos]

b) Resuelva el sistema para el valor

m = 2

. [0,8 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Matrices

Sean las matrices

A = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} - 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{array})

a) Calcule la matriz

A^{n}

para

n \in N

. [1 punto]

b) Resuelva la ecuación

(A + 2 I) X = B

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

El plano

π \equiv 2 x + b y - 2 z + 4 = 0

, con

b \in R

b \neq 0

, corta a los ejes de coordenadas en tres puntos

A

B

C

. Calcule los valores de

b \in R

tales que el área del triángulo que determinan estos tres puntos

A

B

C

sea

6 u^{2}

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Álgebra

Si los vectores

{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}

son linealmente independientes,

a) Compruebe si los vectores

{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}}

son linealmente dependientes o independientes, siendo

\vec{r} = 2 \vec{u} + \vec{w}, \vec{s} = \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}, \vec{t} = - 3 \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}

[1 punto]

b) Si además los vectores

{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}

son ortogonales y unitarios, calcule razonadamente

\vec{u} \cdot \vec{r} + \vec{v} \cdot \vec{s} + \vec{w} \cdot \vec{t}

, donde

\cdot

representa el producto escalar de dos vectores. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega sigue una distribución normal de media 150 mg/l y desviación típica 30 mg/l. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a 200 mg/l, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos? [1 punto]

b) ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre 110 y 150 mg/l? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10

Examen de Matemáticas II de Aragón 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Ejercicio 4: Límites y continuidad

Ejercicio 5: Matrices

Ejercicio 6: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 7: Matrices

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Ejercicio 9: Álgebra

Ejercicio 10: Distribución normal

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