Examen de Matemáticas II de Aragón 2020 (convocatoria ordinaria)

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+(m+1)z=2\\ x+(m-1)y+2z=1\\ 2x+my+z=-1\end{array}$

Discuta el sistema según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [2 puntos]

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$:

a) Calcule, si es posible, ${(A\cdot B^t)}^{-1}$. [1 punto]

b) Compruebe que $C^3=I$, donde $I$ es la matriz identidad, y calcule $C^{16}$. [1 punto]

Resuelva el sistema matricial

$\{\begin{array}{l}X-2Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 0& -2& 0\end{array}\right)\\ 2X+3Y=\left(\begin{array}{ccc}7& 6& -1\\ 14& 3& 7\end{array}\right)\end{array}$

[2 puntos]

Se considera la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x+z=1\\ 2x+y=3\end{array}$

a) Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y que pasa por el punto $(0,0,1)$. [1,25 puntos]

b) Se considera el paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{u}\times \vec{v}$. Sabiendo que $\vec{u}\times \vec{v}=(-1,1,1)$, calcule el volumen de dicho paralelepípedo. [0,75 puntos]

Calcule el siguiente límite:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }((1+x-\mathrm{sen}x{)}^{\frac{1}{x^3}})}$

[2 puntos]

Se considera la siguiente función: $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1-e^{-x}}}$

Estudie la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y calcúlelas cuando existan. [2 puntos]

Se considera la siguiente función $f(x)=\ln (2x+1)$

a) Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

b) Halle la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. [0,75 puntos]

Calcule la siguiente integral:

${\displaystyle \int (\sqrt{x}\cdot {\ln }^{2}x)dx}$

[2 puntos]

Según estadísticas del Instituto Nacional de Estadística, la probabilidad de que un varón esté en paro es del 12 %, mientras que la de que una mujer lo esté es del 16 %. Además, la probabilidad de ser varón es del 64 % y la de ser mujer del 36 %.

a) Hemos conectado por redes sociales con una persona: ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y esté en paro? [0,75 puntos]

b) Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté en paro? [0,75 puntos]

c) Hemos conectado por redes sociales con una persona que nos ha confesado estar en paro: ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? [0,5 puntos]

Nota informativa: las estadísticas anteriores (y los experimentos) están realizados con personas en disposición de trabajar.

De los estudiantes universitarios españoles, uno de cada 5 abandona sus estudios. Se seleccionan 5 estudiantes universitarios españoles al azar, de modo independiente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus estudios? (No es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando y desarrollando los números y operaciones básicas que la definen, pero sin hacer los cálculos finales). [1 punto]

b) ¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone la respuesta de modo numérico. [1 punto]