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Examen de Matemáticas II de Aragón 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Aragón, convocatoria ordinaria de 2021. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Dada la siguiente función

f (x) = {\begin{cases} x^{3} + b x + 2 & x \leq 0 \\ \frac{\ln (x + 1)}{a x} & x > 0 \end{cases} a, b \in R, a, b \neq 0

a) Determine los valores de

a, b \in R

para que la función

f (x)

sea continua en

R

. [1 punto]

b) Calcule aquellos valores que además hacen que la función

f (x)

tenga un extremo relativo en el punto

x = - 1

, y determine el tipo de extremo que es. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Calcule el valor de

a \in R

(con

a \neq 0

) para que se verifique el siguiente límite

\lim_{x \to 0} {(1 - {sen}^{2} (x))}^{\frac{a}{x^{2}}} = 2

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule

\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 3 x + 2} d x

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Funciones

Para la siguiente función

f (x) = \frac{2 x^{3} - x^{2}}{x^{2} - x - 2}

a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir. [1,2 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto

x = 1

. [0,8 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Dada la siguiente matriz:

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array})

a) Estudie el rango de la matriz

A - k I

según los valores de

k \in R

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Calcule la inversa de

A - k I

para

k = 0

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Matrices

a) Sabiendo que

∣ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} ∣ = 5

, calcule justificadamente

∣ \begin{array}{ccc} 2 d & 2 e + 2 f & 2 f \\ - g & - h - i & - i \\ a & b + c & c \end{array} ∣

[1 punto]

b) Dada la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{array})

, resuelva el sistema

(A - \frac{1}{2} A^{T}) \cdot X = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 5 \end{array})

, donde

A^{T}

es la matriz traspuesta de

A

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Matrices

a) Resuelva el siguiente sistema matricial

{\begin{cases} 2 X + 3 Y = (\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array}) \\ 3 X - 2 Y = (\begin{array}{cc} 5 & 3 \\ - 2 & 4 \end{array}) \end{cases}

[1 punto]

b) Calcule

{(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array})}^{n}

, con

n \in N

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto

A = (0, 1, 1)

y es paralela a los planos

π_{1}

, que contiene los puntos

B_{1}

B_{2}

B_{3}

, y

π_{2} \equiv x + 2 z = 1

, siendo:

B_{1} = (- 1, 0, 2), B_{2} = (1, 3, 1), B_{3} = (2, - 1, 0)

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Álgebra

Sean los siguientes vectores:

{\vec{u}}_{1} = (- 1, 1, 1), {\vec{u}}_{2} = (0, 3, 1), {\vec{u}}_{3} = (1, - 2, 0), {\vec{u}}_{4} = (- 2, 0, 1)

a) Compruebe si los vectores

{{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, {\vec{v}}_{3}}

son linealmente dependientes o independientes, siendo:

{\vec{v}}_{1} = 2 {\vec{u}}_{1} - {\vec{u}}_{2}, {\vec{v}}_{2} = {\vec{u}}_{1} + {\vec{u}}_{3}, {\vec{v}}_{3} = {\vec{u}}_{4}

[1 punto]

b) Calcule las siguientes expresiones:

(2 {\vec{u}}_{1} - {\vec{u}}_{2}) \cdot (2 {\vec{u}}_{1} - {\vec{u}}_{2}), ({\vec{u}}_{4} - {\vec{u}}_{1}) \times ({\vec{u}}_{4} - {\vec{u}}_{1})

siendo

\cdot

\times

los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120

μ g/dl

y desviación típica 30

μ g/dl

. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75

μ g/dl

.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro? [1 punto]

b) El 45 % de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a

k

. Averigüe el valor de

k

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10

Examen de Matemáticas II de Aragón 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Ejercicio 2: Límites y continuidad

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Ejercicio 4: Funciones

Ejercicio 5: Matrices

Ejercicio 6: Matrices

Ejercicio 7: Matrices

Ejercicio 8: Rectas y Planos

Ejercicio 9: Álgebra

Ejercicio 10: Distribución normal

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